基于层次分析法的模糊综合评价模型

一、问题重述

随着我国经济社会持续快速发展，群众购车刚性需求旺盛，汽车保有量继续呈快速增长趋势，2015年新注册登记的汽车达2385万辆，保有量净增1781万辆，均为历史最高水平。汽车占机动车的比率迅速提高，近五年汽车占机动车比率从47.06%提高到61.82%，群众机动化出行方式经历了从摩托车到汽车的转变，交通出行结构发生了根本性变化。

2015年，小型载客汽车达1.36亿辆，其中，以个人名义登记的小型载客汽车（私家车）达到1.24亿辆，占小型载客汽车的91.53%。与2014年相比，私家车增加1877万辆，增长17.77%。全国有40个城市的汽车保有量超过百万辆，北京、成都、深圳、上海、重庆、天津、苏州、郑州、杭州、广州、西安11个城市汽车保有量超过200万辆。全国平均每百户家庭拥有31辆私家车，北京、成都、深圳等大城市每百户家庭拥有私家车超过60辆。

随着城市人口以及城市交通流的增加，城市特别是大城市的交通问题普通成为焦点问题。路网不畅、设施不足、交通拥堵等问题越来越突出；行车难、停车难、交通秩序混乱等问题日益突显，对城市交通管理造成的冲击和压力越来越大。城市道路交通拥挤堵塞问题已成为制约经济发展、降低人民生活质量、削弱经济活力的瓶颈之一。据美国得克萨斯州运输研究所2006年底公布的数据显示，被称为“汽车王国”的美国每年因交通堵塞造成的经济损失高达1000亿美元。2007年中国社科院数量经济与技术经济研究所测算，北京市每天因为堵车造成的社会成本达到4000万元，每年损失146亿元。对于交通堵塞这个世界性难题，各国政府和民间都在为解决这个问题进行广泛的研究。

交通拥堵的因素很多，其中一个就是交通管理技术低下。请你建立模型分析在现有交通路网架构的条件下，如何提高交通管理技术，改善城市交通。

二、问题分析

在本文中，我们采用层次分析法从车辆因素、道路因素、人为因素、社会因素四个个方面对城市交通进行综合评估，最终得出一个综合评分。车辆因素主要从车辆自身对交通问题影响，包括车流量，车辆运载效率等；道路因素指标目的在于衡量道路的交通运输能力，以及道路交通标线的设计；人为因素体现人为主观行动对交通的影响；社会因素从社会现象上分析对交通的影响。利用A,B两城市比较法，通过实际数据对比计算相似度，构建模糊矩阵得出二级指标权重向量，再利用专家打分法一级指标权重向量，综合得出应用上述评价体系和评价指标体系，可以对城市交通进行评价，以判断城市交通的现状，诊断其发展进程中的问题，为城市交通的优化提供决策参考。

考虑到用层次分析法计算各因素权重的过程中专家评分具有主观性，各指标具有离散性，因而会有误差，所以我们最后用模糊数学的知识对模型进行了优化处理，对有些变量进行连续化处理，并建立其关于上级指标的隶属函数，进而计算出隶属度，由此隶属度构成的矩阵，综合各因素的权重列向量，经过矩阵运算，得出技术效益的综合结果。

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由这些因素集的综合结果构成上一层的因素集，再根据上一层的权重分配方案，采取同样的计算方法，得到最终的综合分数。

三、模型假设

假设一：我们的模型只列出了16项影响城市交通绩效的指标，因为宏观因素及微观因素，影响因素远远不止这些，我们假设除本文所列项目，其他因素的影响甚微，可以忽略不计。

假设二：文中层次分析模型建构过程中涉及到了专家打分，但由于评分专家对所评方案的评分受个人因素影响，我们假设5个专家的打分是客观、公正的, 且对指标无明显偏好。

假设三：假设受评规划方案均满足城市交通规划方案的优化选择模型的基本要求。

四、符号说明

R1.................................................................................... 人为因素的评价矩阵 P1.................................................................................... 人为因素的模糊判断矩阵 W1 .................................................................................... 人为因素的权向量 R2 .................................................................................. 道路因素的评价矩阵 P2 ..................................................................................... 道路因素的模糊判断矩阵 W2..................................................................................... 道路因素的权向量

R3..................................................................................... 车辆因素的评价矩阵

P3....................................................................................... 车辆因素的模糊判断矩阵 W3...................................................................................... 车辆因素的权向量 R4...................................................................................... 社会因素的评价矩阵 P4....................................................................................... 社会因素的模糊判断矩阵 W4....................................................................................... 社会因素的权向量

R5....................................................................................... 功能特征的评价矩阵 ........................................................................................ 功能特征的模糊判断矩阵 ....................................................................................... 功能特征的权向量

P5W5 P......................................................................................... 总目标的模糊判断矩阵

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W........................................................................................ 总目标的权向量 O ......................................................................................... 评价结果向量

?i ....................................................................................... 权系数

Z......................................................................................... 综合评价

五、模型建立

5.1 数学知识回顾 5.1.1 层次分析法

AHP(Analytic Hierarchy Process)方法[1]，是由20世纪70年代由美国著名运筹学学家T.L.Satty提出的。它是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法。这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供了一种简便的决策方法。

定理1（Perron定理）：设n阶方阵A?0，?max为A的最大特征根，则：

?max ?0,而且它所对应的特征向量为正向量； ?max为A的单特征根，且?max ?0;

?max对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的。 定理2: n阶正互反矩阵A

5.1.2 隶属函数

隶属函数是指:给定论域U上的一个模糊子集A,对于任意u∈U,都确定了一个数A(u),0≤μA(u)≤1,那么A(u)叫做u对A的隶属程度,A叫做A的隶属函数。

5.1.3 模糊综合评价

模糊综合评价是应用模糊变换原理，考虑与评价对象相关的各种因素，对其所作的综合评价。 其基本原理是：

（1）根据评价的标准构造多个隶属函数。

（2）通过评测指标在各个隶属函数中对应的程度不同（即隶属度不同），可以形成一个模糊关系矩阵。

（3）构造权重系数矩阵。

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??aij?n?n是一致阵的充要条件是

?max ?n

（4）将权重系数模糊矩阵和模糊关系矩阵通过模糊运算，最终就可以得到综合指标对各个评价等级的隶属度矩阵。通常根据最大隶属度原则，在最后的隶属度矩阵中，综合指标对哪个评价等级的隶属度更高，那么我们就将其所要评价的目标定为该评价等级。

5.2 建立层次分析结构模型[2]

利用层次分析法解决问题可分如下三步进行：

第一层：目标层。这一层只有一个元素，即交通状况综合评分。

第二层：准则层。包括所有为实现目标所涉及的所有中间环节，它们属于一级指标。 第三层：子准则层：由准则层的各个因素构成，受准则层的支配。子准则层的因素构成二级指标。（如下表）

城市交通绩效评价指标

总目标 一级指标 二级指标 单线高峰客流量（万人次/小时）A11 人为因素A1 居民品均出行耗时(小时）A12 人均城市道路占有量（平方米）A13 道路利用率% A21 道路因素A2 红绿灯效率% A22 公交站点密度 A23 万人车辆标台数（标台/万人）A31 车辆因素A3 公交出行数量（辆）A32 主干道平均车速（千米/小时）A33 汽车燃油消耗(元/公里）A34 路段空气质量超标率% A41 社会因素 A4 干道的昼间噪声（百分贝）A42 油耗比 A43 降雨量(毫米/年）B11 功能特征B1 交通基础设施 B12 日增车辆 （辆）B13 5.3 确定各指标的相对隶属度，建立评价矩阵。

根据一级指标对评价集合V的隶属关系,建立评价矩阵Rn：

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