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∵△OCD绕点O旋转得△OC'D'（即△OMD） ∴OM＝OC＝∴MD'＝

，OD'＝OD＝1，∠MOD'＝∠COD＝90° ＝2，∠MD'O＝60°，∠OMD'＝30°

∵∠MOD'＝∠AOB＝90° ∴∠MOD'+∠BOM＝∠AOB+∠BOM 即∠BOD'＝∠AOM ∵OA＝∴

∴△BOD'∽△AOM ∴∠BD'O＝∠AMO＝60°，

，OB＝

∴∠AMD'＝∠AMO+∠OMD'＝60°+30°＝90°，即AM⊥BD' 设BD'＝t（t＞0），则AM＝

t，BM＝BD'﹣MD'＝t﹣2

∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2 ∴（

t）2+（t﹣2）2＝28

解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝3 ∴AM＝3

，BM＝1

∵S△AMB＝AM?BM＝AB?MH ∴MH＝

②如图3，当点M与点C′重合且在y轴左侧时， ∴∠MOD'﹣∠AOD'＝∠AOB﹣∠AOD' 即∠AOM＝∠BOD'

∴同理可证：△AOM∽△BOD'

∴∠AMO＝∠BD'O＝180°﹣∠MD'O＝120°，

∴∠AMD'＝∠AMO﹣∠OMD'＝120°﹣30°＝90°，即AM⊥BD' 设BD'＝t（t＞0），则AM＝

t，BM＝BD'+MD'＝t+2

∵在Rt△AMB中，AM2+BM2＝AB2 ∴（

t）2+（t+2）2＝28

解得：t1＝2，t2＝﹣3（舍去）

∴AM＝2，BM＝4

∵S△AMB＝AM?BM＝AB?MH ∴MH＝

综上所述，点M到AB的距离为

或

．

25．（1）证明：连接OA， 由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB， ∵∠ADE＝∠ACB， ∴∠ADE＝∠ADB， ∵BD是直径，

∴∠DAB＝∠DAE＝90°， 在△DAB和△DAE中，

，

∴△DAB≌△DAE， ∴AB＝AE，又∵OB＝OD， ∴OA∥DE，又∵AH⊥DE， ∴OA⊥AH， ∴AH是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD， ∴∠E＝∠ACD， ∴AE＝AC＝AB＝6．

在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝8，∠ADE＝∠ACB， ∴sin∠ADB＝＝，即sin∠ACB＝； （3）证明：由（2）知，OA是△BDE的中位线， ∴OA∥DE，OA＝DE． ∴△CDF∽△AOF， ∴

＝

＝，

∴CD＝OA＝DE，即CD＝CE， ∵AC＝AE，AH⊥CE， ∴CH＝HE＝CE， ∴CD＝CH， ∴CD＝DH．

中学自主招生数学试卷

一．选择题（满分30分，每小题3分） 1．估计

﹣2的值在（ ）

B．1到2之问

C．2到3之间

D．3到4之间

A．0到l之间

2．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（ ）

A． B．

C． D．

3．下列计算正确的是（ ） A．3x2﹣2x2＝1

B．

+

＝

C．x÷y?＝x

D．a2?a3＝a5

4．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线

AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，

④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④