安徽省皖江名校2019届高三开学考数学(文科)试题(解析版)

（II）先设线段在直线

上，

的中点为，由（Ⅰ）可得

在椭圆上，列出方程组，即可求解.

到直线的距离顺次是

，

，再设，从而可得的中垂线的方程，再由

【详解】（Ⅰ）设则∵∴

顺次成等差数列，∴.

的中点为，由（Ⅰ）

，即

（Ⅱ）设线段，设，

则的中垂线的方程为：，

∵在直线上，故有，

即 ①

∵∴

在椭圆上，得

②

，解得.

，

联立①②可得：∴直线

的方程为

.即点坐标为，

【点睛】本题主要考查直线与椭圆的综合问题，结合椭圆的性质，以及直线与椭圆的位置关系即可求解，属于常考题型. 21.设函数（I）求函数（II）记函数【答案】（I）【解析】 【分析】 （I）对函数

求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； 的单调区间； 的最小值为在

，证明：

．

上单调递增；（II）详见解析.

．

上单调递减，在

（II）由（I）先得到构造函数

【详解】（Ⅰ）显然

，要证，即证明，即证明的最小值即可.

，

，用导数的方法求函数的定义域为

．

．

∵∴若若综上所述：

，，，在，

，此时，此时

，，

在在

上单调递减； 上单调递增； 上单调递增． ，

．

，即证明

，即证明

，则只需证明

， ，

上单调递减，在

（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 即：要证令

∵∴当当∴∴

．∴

．

，，

，此时，此时

，

，且在在．

，

上单调递减； 上单调递增，

，

【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.

请考生从第22、23题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分：多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．

22.在直角坐标系旋转

得到线段

中，曲线的参数方程为

（为参数）．是曲线上的动点，将线段

绕点顺时针

，设点的轨迹为曲线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（I）求曲线，的极坐标方程；

（II）在（I）的条件下，若射线面积．

【答案】（I）的极坐标方程为【解析】 【分析】

与曲线，分别交于两点（除极点外），且有定点，求

，的极坐标方程为；（II）.

（Ⅰ）由曲线的参数方程先化为普通方程，进而可化为极坐标方程；根据曲线的极坐标方程，求出的极坐标方程即可； （II）先求出

两点的极坐标，进而可求出

和

，再由，

即可求出结果.

【详解】（Ⅰ）由题设，得的直角坐标方程为即

，

，即

， ， ．

的极坐标方程得

，

，

所以

．

，

．

故的极坐标方程为设点

，则由已知得

代入的极坐标方程得即的极坐标方程为（Ⅱ）将又因为

代入，所以

【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数方程与普通方程的转化问题，以及极坐标的方法求弦长等，熟记公式即可求解，属于常考题型. 23.已知函数（I）当

时，求不等式

．

；（II）详见解析. ．

的解集；

（II）求证：【答案】（I）【解析】 【分析】 （I）将

代入不等式，再由分类讨论的思想求解即可；

（Ⅱ）根据含绝对值不等式的性质将）【详解】（Ⅰ） 当由得解得

的解集为

（Ⅱ）

；

时，，

化为，

，即可证明结论成立.

，当且仅当时等号成立.

【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，解含绝对值不等式，只需用分类讨论的思想处理即可；证明不等式的问题，只需熟记含绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.