2020年中考数学压轴题专题训练之几何中的最值问题（含答案）

2020年中考数学压轴题专题训练之几何中的最值问题

，． 1．如图，二次函数y?ax?bx?1的顶点C的坐标为(11)2

(1)求a，b的值；

(2)已知A点为抛物线上异于C的一点，且A点横、纵坐标相等，B为x轴上任意一点，当BA?BC取最小值时，求出B点坐标和此时?ABC的面积． 【答案】(1) a??2,b?4； (2) B点坐标为?【分析】(1)由题意可设y?2?1,0?， ?3?6将(0,?1)代人即可求出解析式，得到a与b； ?a(x?1)2?1，

2(2)可设A点坐标为(m,m)，代入y??2x?4x?1求出m得到点A的坐标??11?,?，，22??作A点关于x轴的对称点A'，连接A?C，交x轴于B点，则此时BA?BC?A?C为最小值，求出直线A?C的解析式，得到直线与x轴交点B的坐标，分别作AM，CN垂直于x轴，垂足分别为M，N，根据S?ABC的面积.

2．如图，在矩形ABCD中，AB?a，BC?2a，M是AD的中点，动点E在线段AB上，连接EM并延长交射线CD于点F，过点M作EF的垂线交BC于点G，设MG的中点为H，连接EG，FG．

(1)当点E不与点A重合时，求证：?AME??DMF；

?S四边形AMNC?S?ABM?S?NBC求出?ABC 1

（2）①当点E与点A或点B重合时，?EGF是等腰直角三角形，当点E与点A或点B不重合时，请判定?EGF的形状； ②求点H移动的最长距离．

【详解】

(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴?A??MDF?90?，

QM是AD的中点， ?AM?DM，

又Q?AME??DMF，

??AME??DMF；

（2）①过点G作GN?AD于N，如图①，

Q?A??B??ANG?90?， ?ABGN是矩形， ?GN?AB?a， QMG?EF， ??GME?90?，

??AME??GMN?90?， Q?AME??AEM?90?，

2

??AEM??GMN， ?AD?BC?2a，

∵M是AD的中点，

?AM?a， ?AM?NG， ??AEM??NMG， ?ME?MG， ??EGM?45?，

由（1）得?AME??DMF，

?ME?MF，

QMG?EF， ?GE?GF，

??EGF?2?EGM?90?， ??GEF是等腰直角三角形；

②如图②，当点E与点A重合时，

QMG?AD， ?MG?BC，

?G为BC的中点，

当点E运动到B时，点G与C重合，

QCG?12BC?a，

3

11?HH'?CG?a，

22∴点H移动的最长距离为

3．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(?2,0)，点B(2,0)，点C(0,2)，把?ABC绕点O顺时针旋转（旋转角为锐角），得?MNP，A、B、C旋转后的对应点分别为M、

1a． 2N、P，MP、NP分别与y轴、x轴交于点E、F．

（1）求四边形OEPF的面积；

（2）设ME?m(0?m?22)，S?OEF?S，用含m的式子表示S；

（3）设点P关于原点的对称点为Q，当QE?QF的值最小时，求Q的坐标．（直接写出结果）

【答案】（1）2；（2）S?12m?2m?2；（3）Q(?2,?2) 2【分析】（1）连接OP，有△MNP是等腰直角三角形，证明?FPO≌?EMO，即可得到S?FPO?S?EMO

1?2?2?2即为所求． 21（2）由?FPO≌?EMO，PF?ME?m，根据S?PEF?PF?PE，S?S?OEF=S

2故S四OEPF?S?EPO?S?FPO?S?EPO?S?EMO?S?PMO?四边形OEPF-

S?PEF，即可求出S和m的关系式．

（3）通过图象观察当旋转角为45°时，QE?QF值最小，根据旋转的性质，即可求出Q点坐标．

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