导数与微分(4)

例9 试证: 当|x|??1时，

(1?x)??1??x,f(x)?(1?x)?(??R).

证明 令其中

，因为

??1|x|??1，利用近似公式,有

f(x)?f(0)?f'(0)x

f(0)?1,f'(x)??(1?x)?f'(0)??. 从而有

(1?x)????1??x , |x|??1.

1213xx特例，当?当?1213时，有时，有

31?x?1?1?x?1?n, ,

|x|??1. |x|??1.

n例10 设a?0，且|b|与a相比是很小的量,试证明

并计算

10a?b?a?nbnan?1，

1000的近似值。

证明 由例9知道，

na?b?a?n1?1000?10nban?a(1??2410?29bna)?a?nbnan?1. .

10210?24?2?3?2?0.0047?1.9953例 4.11 近似计算

8.0034.

(1?x)?解 这里不能直接套用近似公式 一下，

3?1??x. 因为8.0034 =

1+7.0034, 而7.0034显然太大，不符合

x??1的要求，故需要变化

8.0034?38(1?0.00348)?2?31?0.00348?2(1?13?0.00348)?2.0003.

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