导数与微分(4)

d(arcsinx)?11?x2dx.

d(arccosx)??11?x2dx.

d(arctanx)?11?x2dx. .

d(arccotx)??11?x2dx.

d(secx)?secx?tanxdx. d(csxc)??cscx?coxtdx这些公式不仅在微分学中很基本、很重要，而且在以后的积分学中也经常要用到。因为积分是微分的逆运算，所以在积分中往往是要颠倒过来使用这些公式。因此要求同学必须熟记这些公式。包括正、反两种方式。例如

1x4dx?2(12x7dx)?2(dx)?d(2x).

1x2dx???1x2dx?d(?1x).

x3dx?37d(x3)?d(3717x3);sinxdx??d(cosx)?d(?cosx).

1?x2dx?d(arctanx).

2．微分的运算法则

由导数的运算法则可以推出微分的运算法则：若已知

u?u(x),v?v(x)在点x处的微分，则有

d(u?v)?du?dv.d(u?v)?udv?vdu.d(cu)?cdu(c?const.)

uu(x)vu'?uv'd()?[]'dx?dx2vv(x)vuvdu?udv ?d()?.2vv例4.4 设y?解

22a?xa?x22222，求dy.

22222dy?(a?x)d(a?x)?(a?x)d(a?x)(a?x)222222 .

?(a?x)(?2xdx)?(a?x)(2xdx)(a?x)2222??4ax(a?x)2222dx 9

以下要点 1. 微分形式的不变性

2. 微分在近似计算中的应用 3．复合函数的微分法则(微分形式的不变性)

设给复合函数y? 其中du

f[?(x)],其中u??(x)在点x处可微，而y?处可微，且

f(u)在对应点u处亦可微，则复合函数y?dy?f?(u)du?（1）

f[?(x)]在点x??'(x)dx是中间函数u??(x)在点x处的微分。事实上，由微，有

.

分表达式dy?y?dxxdy?{f[?(x)]}'dx?[f'(u)??'(x)]dx?f'(u)??'(x)dx?f'(u)du（1） 式表明：不论u是自变量 （y?f(u)?dy?f'(u)du）还是中间变量（y?成立：f(u),u??(x)?（1）

，

dy?f'(u)du）函数y?都是dy?f?(u)duf(u)的微分有着相同的形式，

并不因为u是自变量还是中间变量而改变。这种性质称为微分形式的不变性。

但是，我们要清楚，（1）式仅仅是形式不变，而其含意是不同的：当u是自变量时，式（1）中的dudu??u?du?o(?x) (?x?0).

??u；而当u是中间变量（即u不

??u是自变量而是x的函数）时，则式（1）中的du，而应是：

例4.5 设y?ln(tan解 可将tan（1）有

dy?x)，求dy

2.

x2看成中间变量u，因此由“微分形式不变性”的公式

1tanx2d(taxn).

2再利用一次“微分形式不变性”，有

dy?1tanx2d(tanx)?21tanx2?1cosx22dx2

?1sinx?cosx222xdx?4xdxsin2x2.

这里共用到两次“微分形式不变性”。

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例4.6 解

y?e?ax?axsinbx, 求dy.

?axdy?d(e?e?ax?sinbx)?ed(sinbx)?sinbx?d(e?ax?ax)

(bcosbx?asinbx)dxcosbx?d(bx)?e(sinbx)d(?ax)?e?ax.

为了以后学习积分学的需要，同学应熟悉把微分形式不变性颠倒过来运用，例如

1x?5dx?1x?52d(x?5)?d(2x?5)?2d(x?5).

xe?xdx??12e?x2d(?x)??212d(e?x2).

cos1xdx??cos1d(1)??d(sin1). 2xxxx以上例题都是想办法把左边变成某一个函数的微分形式，这就是所谓的“凑微分法”。 五．微分的应用

在一些问题中，往往需要计算?y或可以利用微分来做近似计算。 我们知道，当函数y?式：

?y?f'(x0)?x?o(?x)(当?x?0)或?y?dy?o(?x)（当?x?0）.

f(x)在点x0处可微分时，有微小改变量公

f(x0??x). 一般说来，求它

们的精确值比较困难。但是，对于可微分函数，当|?x|充分小时，

因此有近似式?y? 当x0f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x（当|?x|??1）或

f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x（|?x|??1）... (2).

?0时，（2）式化为

f(?x)?f(0)?f'(0)?x（当|?x|??1）.……. (3)

也可以简记为

f(x)?f(0)?f'(0)x（当|x|??1）……….. (4)

0利用（4）式，可以近似计算在点x?0附近的函数值。

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总之，当近似计算函数的改变量或（4）.

?y时，可以利用公式

?y?dy?f?(x)?x?；近似计算函数值f(x0??x)或f(x)时，可用公式（2）

1例7 一个外直径为10 cm的球，球壳厚度为积的近似值。

解 半径为r的球体积为

V?f(r)?4316cm，试求球壳体

?r3.

当?r很小时，球壳体积为

?V(?f(r??r)?f(r))可用dV?f'(r)dr?V?f'(r)dr?4?r??r?4??5?(?22来近似，即

3116)??19.63（其中r?5,?r???'116）。所以球壳体积|?V|的近似值为19.63cm.

例8 求cos6012的近似值。 解 因为要用微分dy?3?f'(x)dx去近似，这里涉及到三角函数求导，

所以必须采用弧度作为角度的单位。例如

cos6012?cos(?'??12?6018012?10800,)

?cos(?3). 12?10800令f(x)?cosx,f(x0)?cosx0??3?x?, 则

?3?30，f'(x)?f'(x)|x?x0??sin0.

由公式f(x

??x)?f(x0)?f'(x0)?x?'，知道

cos6012?cos( ?12??3)?(sin?310800)12??0.4970210800312?它与四位数字用表上的数据完全一样。

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例9 试证: 当|x|??1时，

(1?x)??1??x,f(x)?(1?x)?(??R).

证明 令其中

，因为

??1|x|??1，利用近似公式,有

f(x)?f(0)?f'(0)x

f(0)?1,f'(x)??(1?x)?f'(0)??. 从而有

(1?x)????1??x , |x|??1.

1213xx特例，当?当?1213时，有时，有

31?x?1?1?x?1?n, ,

|x|??1. |x|??1.

n例10 设a?0，且|b|与a相比是很小的量,试证明

并计算

10a?b?a?nbnan?1，

1000的近似值。

证明 由例9知道，

na?b?a?n1?1000?10nban?a(1??2410?29bna)?a?nbnan?1. .

10210?24?2?3?2?0.0047?1.9953例 4.11 近似计算

8.0034.

(1?x)?解 这里不能直接套用近似公式 一下，

3?1??x. 因为8.0034 =

1+7.0034, 而7.0034显然太大，不符合

x??1的要求，故需要变化

8.0034?38(1?0.00348)?2?31?0.00348?2(1?13?0.00348)?2.0003.

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