导数与微分(4)

关，一般与x有关），使得函数改变量?y能够表成如下形式：

0?y?A??x?o(?x)（当?x?0）.则称上式右边的第一部分A??x为函数y?f(x)在点x0处的微分，记作

dy?A??x 或

df(x0)?A??x.

这时，函数y? 由于dyf(x)称为在x0点处可微。

?A??x?A??x是?x的线性函数，又当?x?0时，dy?A??x是?y的

主要部分，所以我们称微分dy部分，简称线性主部。

是函数改变量?y的线性主要

显然，当?x很小时，有近似公式 ?y?dy.其误差是o(?x). 二. 可微与可导的关系（微分与导数的关系） 定理4.1 函数y?f(x)在点x00处可微的充分必要条件是

0f(x)在点x0处可导，且dy?f?(x)??x（即定义中的常数A?f?(x)）. 证?: 设y?f(x)在点x处可微。即?常数A，使得 ?y?0A??x?o(?x)

（当?x?0）.两边同除以?x，得到

?y?x?A?limo(?x)?x?y?x. 令?x?0，取极限, 有

o(?x)?x?x?0?x?0

?x?0?limA?lim?A?0?A.

f?(x0)?A这表示

?y?f(x)在点

x0处一定可导，其导数

?y?x. 即

dy?f?(x0)??x.

：设y??y?xf(x)在点x0处可导，即有极限lim,其中

?x?0?f?(x0). 由极限定理

知,可表示为

?y?x?f?(x0)???x?0lim??0.

从而

?x?0?y?f?(x0)??x????x（lim??0）.由于

?x?0lim???x?x?lim??0，∴

?x?0 ???x?o(?x)（当?x?0）. 故有

）.即y?f(x)在点x0?y?f?(x0)??x?o(?x)，（当?x?0处是可微的。

0由上可知，函数y?

f(x)在点x0处可微与在点x处可导是等价

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的。二者的关系是 dy?f?(x0)??x. 例如 由于dx

d(sixn)?(sixn)???x?cosx??xd(e?x.

)?(e?x)???x??e?x??x.

d(x)?(x)???x??x, 即 dx??x. 从而

dydx??x，所以，今后就把函数的微分

dy?f?(x)??x 改写为

dy?f?(x)?dxf?(x)?. 即函数的导数

f?(x)是函数的微分dy与自变量的微分dx之商，故人们把一阶导数

(the First Derivatives)也就叫做微商。 例1 求

d(sinxxdx2). （注意是对x求导）

2解法一 由于f(x)?于是

ddx2sinxx是偶函数，不妨设x?0，令t?x2，则x?t，

(sinxx)?ddt(sinttt(cos)?t)?12tt?(sint)?12t

?tcost?sint2tt?xcosx?sinx2x3.

解法二 有了微分的概念，一阶导数可看成微分的商。因此，

d(sinxxdx2)?(sinxx2(x)?dxddx33)?dx?12x?xcosx?sinxx92?xcosx?sinx2x3

例2 求

(x?5x?x).

36解法一 令x则ddx33?t6，

9(x?5x?x)?2ddt3(t?5t?t)623

?1?10t?3t?1?10x?3x. 6

解法二

d(x?5x?x)dx3369?(x?5x?x)?dx(x)?dx?3369?3x?30x?9x3x2258?1?10x?3x.36

lntanx例3 计算y?5在x?4,?x?0.01时的微分。

解 ∵ 而

dy?y?dx?y???x.

lntanxy??(5?5)??(5lntanx?ln5)(ltnanx)?

12lntanx?ln5?1tanxcosx??5lntanx?ln5?2sin2x.

所以dy?y???x?5dy?lntanx?ln5?2sin2x??x. 故

4?x?0.01x??5lntan?4?ln5?2sin?2?0.01

?5?(ln5)2?0.01?0.02ln5.0以下要点 1.微分的几何意义； 2.基本微分公式 三. 微分的几何意义 设函数y?f(x)的图形如下:

图3.5

对应于x

0,x0??x的两点是M(x0,y0)?M(x0,f(x0)),

M(x0??x,y0??y)?M(x0??x,f(x0??x)),

过点M做曲线y??,

f(x)的切线MT，其倾角为

PQ?MQtan???xf?(x0)?f?(x0)dx?dy7

则由此可以看出微分的几何意义： 当给x0一个改变量?x，则曲线y?的纵坐标的改变量PQ就是y?f(x)f(x)在点M(x0,f(x0))0处的切线MT?y在点x处的微分dy. 是曲线

y?f(x)的纵坐标的改变量。当|?x|很小时，用dy来近似代替?y所

|?x|要小得多

0产生的误差是|?y?dy|，即图形中的PN的长度，它比

（它是?x的高阶无穷小）。因此，当|?x|很小时，即在点x的附近，可以用切线来近似代替曲线。这就是微积分的一个基本思想:在一定条件下，可“以直代曲”. 四. 微分的基本公式和运算法则 1. 基本公式 根据导数的基本公式和微分表达式dy基本公式：

d(c)?0 (c?const.).

?y'dx可以写出微分的

d(x)??x???1dx (??R).

11d()??2dx. xx1xlogedx特例

d(x)?12xdx,d(log?1ax)?(logdx1xax)'dx?a

xlna(a?0,a?1)特例：d(lnxx)?xdx.

xd(a)?(a)'dx?alnadx(a?0,a?1).

特例：d(ed(tanx)?x)?edxx.

2. d(sixn)?cosxdxxdx . d(coxs)??sinxdx121cosx2dx?sec.

d(cotx)??sinxdx??cscxdx2.

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