2019届高考数学二轮复习以不变应万变--定点定直线问题学案(全国通用)

（1）由的焦点为的顶点，得的焦点 ， ．

令的方程为，因为在上，所以．

于是由由直线令点

，

解得， ，所以的方程为．

．

与椭圆交于、两点，知、关于原点对称，所以

，则，

， ．

，

于是由， ，得

即两式相乘得

．

又因为点代入当当

在上，所以，即中，得

，

．

时，得时，则点

； 或

，此时

或

，也满足方程

．

若点与点重合，即时，由解得或．

若点与点重合时，同理可得或．

综上，点的轨迹是椭圆除去四个点， ， ， ，其方程为

（， ）．

（2）因为点到直线 的距离， ，

所以的面积

.

当且仅当，即或 ，

此时点的坐标为【点睛】

或．

(1)本题主要考查点的轨迹方程的求法，考查圆锥曲线中的面积的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是化简

其二是求

类型二 圆锥曲线中的定直线问题

的最大值.

【例4】【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（十一）】已知点与轴交于点，动点到

两点的距离之比为2．

，直线

（1）求动点的轨迹的方程； （2）设与轴交于三点共线． 【答案】(1)【解析】

；(2)证明见解析.

两点，是直线上一点，且点不在上，直线

分别与交于另一点

，证明：

【详解】

（1）设点化简得

，依题意，，即曲线的方程为

． ， ．

，

（2）证明：由（1）知曲线的方程为令

得

，不妨设

，

设则直线

，的方程为

，

， ，

由得，

所以直线

的方程为

，即

，

，．

所以【点睛】

本题主要考查轨迹方程的求解，三点共线的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 【例5】【湖北省荆州市荆州中学2018届普通高等学校招生全国统一考试】有些事，有些人会永远留在脑海，不会忘记，不会褪色．其实没什么放不下的，只是会觉得，付出了这么多时间，却始终没有被感动 已知抛物线点．

（1）求证：、、三点共线；

（2）若直线过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，点到轴的距离为，点到轴的距离为，求

的最小值．

，且

，

，

三点中恰有两点在抛物线上，另一点是抛物线的焦

，所以

三点共线．

【答案】（1）见解析；（2）8 【解析】 【分析】

⑴先根据三点坐标判定三点与抛物线的位置，再确定三点坐标，利用直线的斜率相等判定三点共线 ⑵设出直线方程，联立直线和抛物线方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系，基本不等式进行求解