2020全国高考数学专题突破训练《立体几何的综合问题》含解析（理）

∵CB∩BF＝B，CB，BF?平面CBF， ∴AF⊥平面CBF，

∵AF?平面DAF，∴平面DAF⊥平面CBF．

(2)几何体F－ABCD是四棱锥，F－BCE是三棱锥，过点F作FH⊥AB，交AB于H． ∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴FH⊥平面ABCD． 1

则V1＝AB·BC·FH，

3

11V12AB2×2V2＝×EF·FH·BC，∴＝＝＝4．

32V2EF1

18．(2018·厦门开学考试)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝5，AA′＝AB＝6，D，E分别为AB和BB′上的点，且＝

ADBE．

DBEB′

(1)当D为AB中点时，求证：A′B⊥CE；

(2)当D在AB上运动时，求三棱锥A′－CDE体积的最小值． 解 (1)证明：∵三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，AA′＝AB， ∴平行四边形ABB′A′为正方形， ∵D为AB的中点，故E为B′B的中点， ∴DE⊥A′B．

∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB． ∵三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱， ∴CD⊥平面ABB′A′，

又A′B?平面ABB′A′，∴CD⊥A′B． 又CD∩DE＝D，∴A′B⊥平面CDE， ∵CE?平面CDE，∴A′B⊥CE． (2)设BE＝x，

则AD＝x，DB＝6－x，B′E＝6－x．

由已知可得点C到平面A′DE的距离等于△ABC的边AB上的高h＝∴V三棱锥A′－CDE＝V三棱锥C－A′DE

ABAC2－2＝4，

2

1

＝(S正方形ABB′A′－S△AA′D－S△DBE－S△A′B′E)·h 311

＝36－3x－(6－x)x－3(6－x)·h 3222

＝(x－6x＋36) 322

＝[(x－3)＋27]， 3

∴当x＝3，即D为AB的中点时，三棱锥A′－CDE的体积有最小值18．

19．(2018·厦门质检一)如图，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AF∥CE，AF⊥AC，AB＝AF＝2，CE＝1．

(1)求四棱锥B－ACEF的体积；

(2)在BF上有一点P，使得AP∥DE，求的值．

BPPF

解 (1)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC， 又平面ACEF⊥平面ABCD．

平面ACEF∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD， ∴BD⊥平面ACEF． 在△ABC中，∠ABC＝60°，

AB＝AC＝2，

设BD∩AC＝O，则可得AC＝2，BO＝3， 在梯形ACEF中，AF∥CE，AF⊥AC，AC＝AF＝2，

CE＝1，

1

∴梯形ACEF的面积S＝×(1＋2)×2＝3，

2∴四棱锥B－ACEF的体积为

V＝·S·BO＝×3×3＝3．

(2)在平面ABF内作BM∥AF，且BM＝1， 连接AM交BF于P，则点P满足AP∥DE， 证明如下： ∵AF∥CE，CE＝1， ∴BM∥CE，且BM＝CE， ∴四边形BMEC是平行四边形， ∴BC∥ME，BC＝ME，

又在菱形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD， ∴ME∥AD，ME＝AD，

∴四边形ADEM是平行四边形， ∴AM∥DE，即AP∥DE， ∵BM∥AF，∴△BPM∽△FPA， 又BM＝1，∴＝1313

BPBM1

＝．

FPFA2

20．(2018·河南考前适应测试)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，DC＝DA＝2AB＝25，点E为AD的中点，BD∩CE＝H，PH⊥平面

ABCD，且PH＝4．

(1)求证：PC⊥BD；

(2)线段PC上是否存在一点F，使三棱锥P－BFD的体积为52？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．

解 (1)证明：∵AB∥CD，∠BAD＝90°， ∴∠EDC＝∠BAD＝90°． ∵DC＝DA＝2AB，E为AD的中点， ∴AB＝ED．

∴△BAD≌△EDC． ∴∠DBA＝∠DEH． ∵∠DBA＋∠ADB＝90°， ∴∠DEH＋∠ADB＝90°． ∴BD⊥EC．

又∵PH⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴BD⊥PH．

又∵PH∩EC＝H，且PH，EC?平面PEC， ∴BD⊥平面PEC． 又∵PC?平面PEC， ∴PC⊥BD．

(2)假设线段PC上存在一点F满足题意，

由(1)可知，△DHE∽△DAB， ∴＝＝DHEHDE，

DABADB2

2

∵BD＝EC＝?25?＋?5?＝5，AB＝DE＝5， ∴EH＝1，HC＝4，DH＝2，HB＝3． ∵PH，EC，BD两两垂直，且PH＝HC＝4， ∴∠HPC＝45°． ∵BD⊥平面PEC，

∴V三棱锥P－BFD＝V三棱锥B－PHF＋V三棱锥D－PHF 111

＝S△PHF·BD＝××PH·PF·sin45°×5 332＝

52

PF＝52， 3

∴PF＝3． ∵PC＝42>3，

∴线段PC上存在满足条件的点F，点F的位置满足PF＝3．