2020全国高考数学专题突破训练《立体几何的综合问题》含解析（理）

10．(2018·河北唐山第一次摸底)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2AA1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为( )

A．101515 B． C． D． 5555

答案 B

解析 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1D，可得A1D∥B1C，所以异面直线A1B与B1C所成的角即为直线A1B与直线A1D所成的角，即∠DA1B为异面直线A1B与B1C所成的角，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AB＝BC＝2AA1＝2，则A1B＝A1D＝5，BD＝22，在△A1BD中，

A1B2＋A1D2－BD25＋5－81

由余弦定理得cos∠DA1B＝＝＝．故选B．

2A1B·A1D2×5×55

11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC边的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，→→

则满足MQ＝λMN的实数λ的值有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案 C

解析 本题可以转化为在MN上找点Q使OQ綊PD1，可知只有Q点与M，N重合时满足条件．故选C．

12．(2019·四川第一次诊断)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝x(x>0)，

D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，

则x的取值范围是( )

A．2

，2 B．[3，23] 2

C．(0，2) D．(0，3] 答案 D

解析 由题意得，AD＝CD＝BD＝11

接DE，CD，则DE＝AC＝，

22

x2＋1

2

，BC＝x，取BC中点E，翻折前，在图1中，连

翻折后，在图2中，此时CB⊥AD．∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AE，又

E为BC中点，∴AB＝AC＝1，∴AE＝1

>2

12x＋111－x，②<＋422

2

12x＋1x＋1

1－x，AD＝，在△ADE中：①＋422

22

12

1－x，③x＞0；由①②③可得0＜x＜3．如图3，翻折后，4

当△B1CD与△ACD在一个平面上，AD与B1C交于M，且AD⊥B1C，AD＝B1D＝CD＝BD，∠CBD＝∠BCD＝∠B1CD，又∠CBD＋∠BCD＋∠B1CD＝90°，∴∠CBD＝∠BCD＝∠B1CD＝30°，∴∠A＝60°，BC＝ACtan60°，此时x＝1×3＝3，综上，x的取值范围为(0，3]．故选D．

二、填空题

13．如图，已知球O的面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________．

答案

6π

解析 如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以

64πR|CD|＝?2?＋?2?＋?2?＝2R，所以R＝，故球O的体积V＝＝6π．

23

2

2

2

3

14．(2018·湖南湘潭四模)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有

如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体(记为ABCD－A1B1C1D1)的粮仓，宽3丈(即AD＝3丈)，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛粟的体积为2．7立方尺，一丈为10尺，则下列判断正确的是________．(填写所有正确结论的编号)

①该粮仓的高是2丈；

313

②异面直线AD与BC1所成角的正弦值为；

13

133π

③长方体ABCD－A1B1C1D1的外接球的表面积为平方丈．

4答案 ①③

解析 由题意，因为10000×2．7＝30×45×AA1，解得AA1＝20尺＝2丈，故①正确；213

异面直线AD与BC1所成角为∠CBC1，则sin∠CBC1＝，故②错误；此长方体的长、宽、

134.5＋3＋22133π

高分别为4．5丈、3丈、2丈，故其外接球的表面积为4π＝平方丈，

24所以③正确．

15．如图，用一个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个巢，将半径为1的球体放入其中，则球心与巢底面的距离为__________．

2

2

2

答案

3＋1

2

解析 由题意知，折起后原正方形顶点间最远的距离为1，如图中的DC；折起后原正方1

形顶点到底面的距离为，如图中的BC．由图知球心与巢底面的距离OF＝

23＋1

． 2

16．(2018·珠海摸底)用一张16×10的长方形纸片，在四个角剪去四个边长为x的正

1211－＋＝22

方形(如图)，然后沿虚线折起，得到一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________．

答案 144

解析 沿虚线折出纸盒后，该纸盒的长为16－2x，宽为10－2x，高为x，则0＜x＜5，其容积为V＝x(16－2x)·(10－2x)＝4x－52x＋160x，所以V′＝12x－104x＋160＝4(x－20

2)(3x－20)，令V′＝0，得x＝2或x＝>5(舍去)，当x∈(0，2)时，V′＞0，即在(0，

32)上，V(x)是增函数；当x∈(2，5)，V′＜0，即在(2，5)上，V(x)是减函数，所以当x＝2时，V(x)有最大值为144．

三、解答题

17．(2018·广东华南师大附中测试二)如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知AB＝2，EF＝1．

3

2

2

(1)求证：平面DAF⊥平面CBF；

(2)设几何体F－ABCD，F－BCE的体积分别为V1，V2，求V1∶V2的值． 解 (1)证明：如图，在矩形ABCD中，CB⊥AB，

∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB， ∴CB⊥平面ABEF， ∵AF?平面ABEF， ∴AF⊥CB，

又∵AB为圆O的直径， ∴AF⊥BF，