第一章 集合与常用逻辑用语(答案)

答案 高三课标版 数学(理) 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合的概念与运算

基础自测

1．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×

2．[解析] 由题意知B＝{x|－2

3．[解析] 由已知条件可得B＝{x|(x－1)(x＋1)>0}＝{x|x>1或x<－1}，∴A∪B＝{x|01或x<－1}＝{x|x>0或x<－1}，故选C.[答案] C

4．[解析] 解不等式|x－1|<2得－10，解得x<－1或x>0，所以B＝{x|x<－1或x>0}，?UB＝{x|－1≤x≤0}，所以A∩(?

U2

2

B)＝(－1,0]，故选B.[答案] B

5．[解析] ∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素．[答案] 6 考点一 集合的基本概念

例1:[解题指导] 切入点：集合中元素的特征；关键点：集合中元素的互异性．

[解析] (1)逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．

(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m＋m＝3.

当m＋2＝3，即m＝1时，2m＋m＝3，此时集合A中有重复元素3， 所以m＝1不符合题意，舍去；

32

当2m＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，

2

3133

因为当m＝－时，m＋2＝≠3，符合题意．所以m＝－.[答案] (1)C (2)－

2222 对点训练

1．[解析] 由题意得，ax＋ax＋1＝0只有一个实数解，当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)，故选A.[答案] A

2．[解析] 由集合A＝{t＋s|t，s∈Z}(即A中元素均可以表示为两个整数平方和的形式)，可得1＝0＋12＝1＋1，所以x＝1∈A，y＝2∈A，但1＋2＝3?A，故A.“x＋y∈A”不成立；

2

2,

2

2

2

2

2

22

2

1

1x又1－2＝－1?A，故B.“x－y∈A”不成立；又?A，故D.“∈A”不成立．故选C.[答案] C

2y3．[解析] 因为B是一个集合，由集合元素的互异性可知y≠－3且y≠1，A是函数y＝x－2的值域[－2，＋∞)，从而y的取值集合就是{y|y≥－2且y≠1}．[答案] {y|y≥－2且y≠1} 考点二 集合间的基本关系

例2:[解题指导] 切入点：子集的定义；关键点：含有字母参数时，应对?关注． [解析] (1)集合N＝{x|x－2x－3>0}＝{x|x>3或x<－1}，所以?RN＝{x|－1≤x≤3}，又M＝{x|0≤x≤2}，所以M??RN，故选B. (2)当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝?，满足B?A；

2

2

m＋1≤2m－1，??

若B≠?，且满足B?A，如图所示，则?m＋1≥－2，

??2m－1≤5，

m≥2，??

即?m≥－3，??m≤3.

∴2≤m≤3.

故m<2或2≤m≤3，即m的取值范围为{m|m≤3}．[答案] (1)B (2){m|m≤3} 对点训练

1．[解析] ∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，∴2,3∈A且2,3∈B,1∈A但1?B，∴B ??A.[答案] D 2．[解析] 由题意得，P＝{－3,2}． 当a＝0时，S＝?，满足S?P；

1

当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－，

a11

为满足S?P，可使－＝－3，或－＝2，

aa?11?11

??.[答案] D 0，，－即a＝，或a＝－.故所求集合为

32?32?

3．[解析] 集合A＝{x|4≤2≤16}＝{x|2≤2≤2}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A?B，所以

x2x4

a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．[答案] (－∞，

－2]

考点三 集合的基本运算

例3:[解题指导] 切入点：集合的交、并、补的概念；关键点：化简集合，准确运算． [解析] (1)先求得集合B的补集，再进行交集运算．由题意得?UB＝{2,5,8}，∴A∩?UB＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．

2

(2)y＝x－2x＝(x－1)－1≥－1，y＝－x＋2x＋6＝－(x－1)＋7≤7， ∴A＝{y|y≥－1}，B＝{y|y≤7}，

故A∩B＝{y|－1≤y≤7}．[答案] (1)A (2){y|－1≤y≤7}

[拓展探究] [解] (1)因A中元素是函数自变量，则A＝R，而B＝{y|y≤7}，则A∩B＝{y|y≤7}．

??y＝x－2x，(2)由?2

?y＝－x＋2x＋6???x＝3，于是，?

?y＝3?

2

2222

?x－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1.

2

??x＝－1，

或?

?y＝3，?

故A∩B＝{(3,3)，(－1,3)}．

考点四 与集合有关的新定义问题

例4:[解题指导] 切入点：拓扑的概念；关键点：从概念出发解决问题．

[解析] (1)τ＝{?，{a}，{c}，{a，b，c}}，而{a}∪{c}＝{a，c}?τ，故(1)不是集合X上的拓扑；

(2)满足：①X属于τ，?属于τ，②τ中任意多个元素的并集属于τ，③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此(2)是集合X上的拓扑；

(3){a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}?τ，故(3)不是集合X上的拓扑；

(4)满足：①X属于τ，?属于τ，②τ中任意多个元素的并集属于τ，③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此(4)是集合X上的拓扑．[答案] (2)(4) 对点训练

[解析] m，n同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，…，(11,1)；m，n一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)．[答案] 15

课时跟踪训练(一)

一、选择题

1．[解析] 由题知A＝{x|x＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}＝{y|0≤y≤2}，所以?RB＝{x|x>2或x<0}，所以A∩(?RB)＝{x|－3≤x<0}，所以选D.[答案] D 2．[解析] ∵P＝{1,3}，∴集合P的子集个数为4，故选C.[答案] C

3

2

3．[解析] 先化简集合P，再应用集合的补集与交集的定义进行计算．由

x2－2x≥0，得x≤0或x≥2，即P＝{x|x≤0或x≥2}，所以?RP＝{x|0

＝(0,2)．又Q＝{x|1

4．[解析] 因为A＝{x|x(x＋3)<0}＝{x|－3

5．[解析] ∵A＝{x|y＝xx}＝{x|x≥0}，B＝{y|y＝－x}＝{y|y≤0}，∴?UB＝{y|y>0}，从而有A∩(?UB)＝{x|x>0}．[答案] C

6．[解 ∵B＝{x|(x＋2)(x－1)<0}，∴B＝{x|－2

8．[解 当x＝1时，y＝2或3或4；当x＝2时，y＝3，所以集合B中的元素个数为4.[答 C 9．[解析] 因为本题涉及的集合间的运算以及关系较为抽象，可以考虑利用Venn图辅助解题．作出满足题意的Venn图，如图所示，容易知道M∩N＝?，故选B.[答案] B

10．[解 A＝{x|x＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因为函数y＝f(x)＝x－2ax－1图象的对称轴为x＝a>0，f(0)＝－1<0，根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，

2

2

2

?4－4a－1≤0，?所以有f(2)≤0且f(3)>0，即?

??9－6a－1>0，

3

a≥，??4所以?4

a

34

即≤a<，故选B.[答 B 43

二、填空题

11．[解析] 若a＝4，则a＝16?(A∪B)，所以a＝4不符合要求；若a＝4，则a＝±2，又－2?(A∪B)，所以a＝2.[答案] 2

12．[解析] 集合A表示以原点为圆心，7为半径的圆在x轴及其上方的部分，A∩B≠?，表示直线y＝x＋m与半圆有交点，作出示意图可得实数m的取值范围是[－7，72]．[答案] [－7,72]

13．[解析] ①当A中的元素为非正数时，A∩B＝?，即方程x＋(a＋2)x＋1＝0只有非正数解，

??Δ＝a＋

所以?

?a＋2≥0，?

2

2

2

2

－4≥0，

解得a≥0；

②当A＝?时，Δ＝(a＋2)－4<0，解得－4

4

2