（浙江专版）2018年高考数学二轮专题复习专题验收评估（四）立体几何与空间向量

22

PB与平面PDC所成的角，因为 PD＝AD＝DC＝2AB，设AD＝1，则PB＝PD＋DB＝

?1?222

1＋1＋??

?2?

3BE2＝，BE＝AD＝1，所以sin∠BPE＝＝. 2PB3

π2答案：

43

13．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体侧视图的面积为______ cm，此几何体的体积为______ cm.

3

2

解析：由三视图性质可知，俯视图为等边三角形，该三角形的高23，故侧视图中直角三角形的一边长为4，另一边长为23，故侧1

面积S＝×4×23＝43.作出该几何体的直观图如图所示，可知该

21?体的体积VA-BCDE＝×23×?3?

答案：43 83

14．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A-BCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为________，二面角B-AC-D的余弦值为________．

2＋4×4?

?＝83. 2?

为视图几何

1

解析：由三视图还原出原几何体如图所示，其侧视图面积为

2×

221

×＝.取AC的中点E，连接BE，DE，则AC⊥BE，AC⊥DE，224

所以∠BED就是二面角B-AC-D的平面角．因为AC＝1，所以BE＝

?3?2?3?2

??＋??－

3?2??2?DE＝，所以cos∠BED＝

2?3?2

2×???2?

2

2

1＝－.

3

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11答案： －

43

15．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．

解析：在正四面体中取CD的中点为G，连接FG，EG，作FH⊥平面CDE于点H.因为正四面体的高FH在平面EFG内，且FH平行于正方体的高，所以可证得平面EFG平行于正方体的左、右两个侧面，故直线EF仅与正方体的六个面中的上、下两个平面及前、后两个平面相交，共有4个．

答案：4

16．(2017·温州模拟)如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°. 其中正确的结论有________(把所有正确的序号都填上)．

解析：由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE.又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB.又PB?平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD.又AD?平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，

∴∠PDA＝45°，∴④正确． 答案：①④

17．(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边

AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)

解析：法一：依题意建立如图所示的空间直角坐标系．设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.

由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．

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―→

设直线a的方向向量为a＝(0,1,0)，直线b的方向向量为b＝(1,0,0)，CB以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0,2π)，则B(cos θ，sin θ，0)，又A(0,0,1)，

∴―AB→＝(cos θ，sin θ，－1)，|―AB→

|＝2. 设直线AB与a所成夹角为α，

则cos α＝|―AB→·a|22?|a||―AB→＝|2|sin θ|∈?

??0，2??，

∴45°≤α≤90°，∴③正确，④错误． 设直线AB与b所成夹角为β， 则cos β＝|―AB→·b|2

|b||―AB→＝|cos θ|.

|

2当直线AB与a的夹角为60°，即α＝60°时， 则|sin θ|＝2cos α＝2cos 60°＝22

， ∴|cos θ|＝

22.∴cos β＝212|cos θ|＝2

. ∵0°≤β≤90°，∴β＝60°，即直线AB与b的夹角为60°. ∴②正确，①错误．

法二：由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又

AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B，作BD∥a，交

底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝2，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝2，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝2，

过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF， ∴BF＝DE＝2， ∴△ABF为等边三角形，

∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误． 由最小角定理可知③正确；

很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，

∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误． ∴正确的说法为②③. 答案：②③

三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

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18．(本小题满分14分)如图，直三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱长为3，AB⊥BC，且AB＝BC＝3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.

(1)求证：无论E在何处，总有B′C⊥C′E；

(2)当三棱锥B-EB′F的体积取得最大值时，求异面直线A′F与AC所成角的余弦值．

解：(1)证明：由题意知， 四边形BB′C′C是正方形， 连接AC′，BC′，则B′C⊥BC′. 又AB⊥BC，BB′⊥AB，BC∩BB′＝B， ∴AB⊥平面BB′C′C. ∴B′C⊥AB，

又AB∩BC′＝B，∴B′C⊥平面ABC′. ∵C′E?平面ABC′，∴B′C⊥C′E. (2)连接EF，B′E，B′F，A′E，AF，

1m＋3－m设AE＝BF＝m，则三棱锥B-EB′F的体积为V＝m(3－m)≤

283

时取等号． 2

3

故当m＝，即点E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B-EB′F的体积最大，则|cos∠A′FE|

2为所求．

32359∵EF＝，AF＝A′E＝，A′F＝，

222∴|cos∠A′FE|＝

22

，即异面直线A′F与AC所成角的余弦值为. 22

2

9

＝， 当且仅当m＝8

19．(本小题满分15分)(2017·绍兴模拟)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.

(1)证明：PC⊥平面BED；

(2)设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

解：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.因为

AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.

如图，设AC∩BD＝F，连接EF. 因为AC＝22，PA＝2，PE＝2EC，

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