复变函数 测验题库 第二章 解析函数

复变函数测验题

第二章 解析函数

一、选择题：

1．函数f(z)?3z2在点z?0处是( )

（A）解析的 （B）可导的

（C）不可导的 （D）既不解析也不可导 2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )

（A）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1

（B）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导

（C）若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在D内解析 （D）若f(z)在区域D内解析，则if(z)在D内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )

（A）x2?y2?2xyi （B）x2?xyi （C）2(x?1)y?i(y2?z?x20?2x) （D）x3?iy3

5．函数f(z)?z2Im(z)在

处的导数( )

（A）等于0 （B）等于1 （C）等于?1 （D）不存在

6．若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析，那么实常数a?( )

（A）0 （B）1 （C）2 （D）?2

7．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内f(z)?( )

（A）0 （B）1 （C）?1 （D）任意常数 8．设函数f(z)在区域D内有定义，则下列命题中，正确的是

1

复变函数测验题

（A）若f(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 （B）若Re(f(z))在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 （C）若f(z)与f(z)在D内解析，则f(z)在D内是一常数 （D）若argf(z)在D内是一常数，则f(z)在D内是一常数 9．设f(z)?x2?iy2，则f?(1?i)?( )

（A）2 （B）2i （C）1?i （D）2?2i 10．i的主值为( )

i?2e（A）0 （B）1 （C） （D）e11．e在复平面上( )

（A）无可导点 （B）有可导点，但不解析

（C）有可导点，且在可导点集上解析 （D）处处解析 12．设f(z)?sinz，则下列命题中，不正确的是( )

（A）f(z)在复平面上处处解析 （B）f(z)以2?为周期

z??2

eiz?e?iz（C）f(z)? （D）f(z)是无界的

213．设?为任意实数，则1( )

（A）无定义 （B）等于1

（C）是复数，其实部等于1 （D）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )

（A）(1?i) （B）cosi （C）lni （D）e15．设?是复数，则( )

（A）z在复平面上处处解析 （B）z

2

33?i2??

??的模为

z

?

复变函数测验题

（C）z一般是多值函数 （D）z二、填空题

1．设f(0)?1,f?(0)?1?i，则limz?0??的辐角为z的辐角的?倍

f(z)?1? z2．设f(z)?u?iv在区域D内是解析的，如果u?v是实常数，那么f(z)在D内是 3．导函数f?(z)??u?v?i在区域D内解析的充要条件为 ?x?x33?i)? 224．设f(z)?x3?y3?ix2y2，则f?(?5．若解析函数f(z)?u?iv的实部u?x2?y2，那么f(z)? 6．函数f(z)?zIm(z)?Re(z)仅在点z? 处可导

7．设f(z)?i15z?(1?i)z，则方程f?(z)?0的所有根为 58．复数i的模为 3?4i)}? 9．Im{ln(10．方程1?e三、设

?z?0的全部解为

为

f(z)?u(x,y)?iv(x,y)z?x?iy的解析函数，若记

w(z,z)?u(?wz?zz?zz?zz?z,)?iv(,)，则?0． 22i22i?z四、试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数 1．f(z)?cosxcoshy?isinxsinhy;

2．f(z)?e(xcosy?ysiny)?ie(ycosy?ixsiny);

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复变函数测验题

dwd2w五、设w?2zw?e?0，求. ,dzdz23z?xy2(x?iy)?,z?0六、设f(z)??x2?y4试证f(z)在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.

?0,z?0?七、已知u?v?x2?y2，试确定解析函数f(z)?u?iv. 八、设s和n为平面向量，将s按逆时针方向旋转

?????即得n.如果f(z)?u?iv为解析函数，2则有

???u?v?u?v???,??（与分别表示沿s,n的方向导数）. ?s?n?n?s?s?n九、若函数f(z)在上半平面内解析，试证函数f(z)在下半平面内解析. 十、解方程sinz?icosz?4i.

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