2016年高考试题（数学文）新课标卷 解析

而

a?b?y，所以y2?x?1(x?1). 2当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为y2?x?1. ....12分 考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．

【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．

（21）（本小题满分12分）

设函数f(x)?lnx?x?1． （I）讨论f(x)的单调性； （II）证明当x?(1,??)时，1?x?1?x； lnx（III）设c?1，证明当x?(0,1)时，1?(c?1)x?cx.

【答案】（Ⅰ）当0?x?1时，f(x)单调递增；当x?1时，f(x)单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．

试题解析：（Ⅰ）由题设，f(x)的定义域为(0,??)，f(x)?'1?1，令f'(x)?0，解得x?1. x当0?x?1时，f'(x)?0，f(x)单调递增；当x?1时，f'(x)?0，f(x)单调递减. ???4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在x?1处取得最大值，最大值为f(1)?0， 所以当x?1时，lnx?x?1， 故当x?(1,??)时，lnx?x?1，ln11x?1??1，即1??x. ??????7分 xxlnxx'x（Ⅲ）由题设c?1，设g(x)?1?(c?1)x?c，则g(x)?c?1?clnc．

c?1'lnc. 令g(x)?0，解得x0?lncln当x?x0时，g(x)?0，g(x)单调递增；当x?x0时，g(x)?0，g(x)单调递减. ?????9分 由（Ⅱ）知，1?''c?1?c，故0?x0?1．又g(0)?g(1)?0，故当0?x?1时，g(x)?0， lnc所以当x?(0,1)时，1?(c?1)x?cx. ??????12分 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法．

【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．

请考生在[22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点． 如图，?O中?（I）若?PFB?2?PCD，求?PCD的大小；

（II）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG?CD．

【答案】（Ⅰ）60?；（Ⅱ）见解析．

（Ⅱ）因为?PCD??BFD，所以?PCD??EFD?180?，由此知C,D,F,E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上，又O也在CD的垂直平分线上，因此OG?CD．

考点：1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆．

【方法点拨】（1）求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；（2）证明两条直线的夂垂直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形性质、圆的直径、平行的性质等． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

??x?3cos?在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(?为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正

y?sin????半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?sin(??)?22．

4（I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（II）设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标.

31x2?y2?1，C2的直角坐标方程为x?y?4?0；【答案】（Ⅰ）C1的普通方程为（Ⅱ）(,)．

223x2?y2?1，C2的直角坐标方程为x?y?4?0. ??5分 试题解析：（Ⅰ）C1的普通方程为3（Ⅱ）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos?,sin?)，因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(?)的最小值，d(?)???????8分 当且仅当??2k??|3cos??sin??4|??2|sin(??)?2|.

32?6(k?Z)时，d(?)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为

31(,). ??????10分 22考点：1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程．

【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为(acos?,bcos?)，将其转化为三角问题进行求解． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)?|2x?a|?a．

（I）当a?2时，求不等式f(x)?6的解集；

（II）设函数g(x)?|2x?1|．当x?R时，f(x)?g(x)?3，求a的取值范围． 【答案】（Ⅰ）{x|?1?x?3}；（Ⅱ）[2,??)．

试题解析：（Ⅰ）当a?2时，f(x)?|2x?2|?2. 解不等式|2x?2|?2?6，得?1?x?3，

因此，f(x)?6的解集为{x|?1?x?3}. ??????5分 （Ⅱ）当x?R时，

f(x)?g(x)?|2x?a|?a?|1?2x|?|2x?a?1?2x|?a?|1?a|?a，

当x?1时等号成立， 2所以当x?R时，f(x)?g(x)?3等价于|1?a|?a?3. ① ??7分 当a?1时，①等价于1?a?a?3，无解； 当a?1时，①等价于a?1?a?3，解得a?2， 所以a的取值范围是[2,??). ??????10分

考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角形绝对值不等式的应用．

【易错警示】对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a＋b?a|－b，当且仅当a?－b?0时，等号成立，对a－b?|a－b?a|＋b，如果a?－b?0，当且仅当a?b且ab?0时左边等号成立，当且仅当ab?0时右边等号成立．