2007年高考数学试题分类汇编（数列）

2007年高考数学试题分类汇编（数列） 重庆文

（1）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）8 重庆理

(21)(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn?1，且

6Sn?(an?1)(an?2),n?N*

（1）求{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足an(2bn?1)?1，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：

3Tn?1?log2(an?3),n?N*

（22）（本小题12分） （Ⅰ）解：由a1?S1?＝2。

11又由an+1＝Sn+1- Sn＝(an?1?1)(an?1?2)?(an?1)(an?2)，

66得an+1- an-3＝0或an+1＝-an

因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。 因此an+1- an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。

1(a1?1)(a1?2)，解得a1＝1或a1＝2，由假设a1＝S1＞1，因此a16（Ⅱ）证法一：由an(2b?1)?1可解得 ?1?3n??logzbz?logz?1?； ??an?3n?1?3n??36从而Tn?b1?b2???bn?logz?··?·?。

253n?1??3n?2?36因此3Tn?1?logz(an?3)?logz?··?·。 ?·253n?13n?2??3n?2?36令f(x)??··?·,则 ?·3n?1?3n?2?2533f(n?1)3n?2?3n?3?(3n?3)3?·?。 ??2f(n)3n?5?3n?2?(3n?5)(3n?2)3因(3n?3)2?(3n?5)(3n?2)2?9n?7＞0，故 f(n?1)＞f(n).

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特别的f(n)?f(1)?27＞1。从而3Tn?1?log(an?3)?logf(n)＞0， 20即3Tn?1＞log2(an?3)。

证法二：同证法一求得bn及Tn。 由二项式定理知当c＞0时，不等式 (1?c)3＞1?3c成立。

由此不等式有

1???3Tn?1?log22?1???1?2???31?1?????1?? 5?3n?1??33

3??3??3??＞log22?1???1????1??

253n?1??????583n?2＝log22···?·?log2(3n?2)?log2(an?3)。

243n?1证法三：同证法一求得bn及Tn。

363n373n?1583n?2令An＝··?·，Bn＝··?，Cn＝··?。 ··253n463n473n?1因

3n3n?13n?23n?23，因此An。 ＞＞＞AnBnCn?3n?13n3n?123从而

3n??2633Tn?1?log22?··?·??log22Ax

3n?1??35＞log22AnBnCn?log2(3n?2)?log2(an?3)。

（1）若等差数列{an}的前三项和S3?9且a1?1，则a2等于（ ） A．3 B.4 C. 5 D. 6

（14）设{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x8x?3?0的两根，则

2a2006?a2007?__________.

浙江理

（21）（本题15分）已知数列?an?中的相邻两项a2k?1，a2k是关于x的方程

x2?(3k?2k)x?3k?2k?0的两个根，且a2k?1≤a2k(k?1，2，3，?)．

（I）求a1，a2，a3，a7； （II）求数列?an?的前2n项和S2n；

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（Ⅲ）记f(n)??1?sinn?3??，

2?sinn?(?1)f(2)(?1)f(3)(?1)f(4)(?1)f(n?1)Tn????…?，

a1a2a3a4a5a6a2n?1a2n求证：

15≤Tn≤(n?N*)． 6242kk21．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．

2?0的两个根为x1?3k，x2?2， （I）解：方程x?(3k?2)x?3k?当k?1时，x1?3，x2?2， 所以a1?2；

当k?2时，x1?6，x2?4， 所以a3?4；

当k?3时，x1?9，x2?8， 所以a5?8时；

当k?4时，x1?12，x2?16， 所以a7?12．

（II）解：S2n?a1?a2???a2n

k?(3?6???3n)?(2?22???2n)

3n2?3n??2n?1?2．

2111(?1)f(n?1)?????（III）证明：Tn?， a1a2a3a4a5a6a2n?1a2n所以T1?11?， a1a26T2?115??． a1a2a3a424当n≥3时，

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111(?1)f(n?1)Tn??????，

6a3a4a5a6a2n?1a2n?1111≥??????6a3a4?a5a6a2n?1a2n?? ?111?11≥??????66?226?232n?? ??111， ??n66?26511(?1)f(n?1)?????同时，Tn? 24a5a6a7a8a2n?1a2n≤?1511??????24a5a6?a1a2a2n?1a2n?? ?≤511?11???????? 249?239?212n??515． ??249?2n2415≤Tn≤． 624综上，当n?N*时，浙江文

(19)(本题14分)已知数列{an}中的相邻两项a2k?1、a2k是关于x的方程

k?2x)?k3? x?(32kk2? 的两个根，且0a2k?1≤a2k (k ＝1，2，3，…)．

(I)求a1,a3,a5,a7及a2n (n≥4)(不必证明)； (Ⅱ)求数列{an}的前2n项和S2n．

(19)本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分14分． (I)解：方程x?(3k?2)x?3k?2?0的两个根为x1?3k, x2?2． 当k＝1时，x1?3,x2?2，所以a1?2； 当k＝2时，x1?6,x2?4，所以a3?4； 当k＝3时，x1?9,x2?8，所以a5?8； 当k＝4时，x1?12,x2?16，所以a7?12；

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