极限部分（第一讲）

第一讲 极限与连续

2n?1因为 ??limn??(n?1)!2n＝lim2n?1?0?1，

x??(n)!?所以无穷级数?n?12nn!收敛，从而极限limn??2nn!?0．

5．利用数列极限与函数极限等值求极限

n例9．若a，b，c?0，试求极限lim(n??a?nb?3nc)．

nn解：lim(n??a?nb?3ncx)＝lim(x???na?xb?3xc)

x111111ln(lim)x???ax?bx?cx31x)?ln3x???e＝

limxln(ax?bx?cx31＝e （应用罗必塔法则）

11alimx???xlna?bxlnb?cxlnc111ax＝en?bx?cx1?2xnn?(?1x2)1＝ec)?n33lnabc，

于是 lim(n??a?b?3abc．

对于数列极限的求极限时，若要使用罗必塔法则，则要转化为相应的函数后再使用．

题型二、函数的极限的计算

1．带有根式函数的极限： 1）有理化去掉根号； 2）利用等价无穷小代换 例1．求极限lim1?x?1?x?31?x1?xx?03

2322解：原式?limx?0(1?x?(1?x?21?x)(1?x?31?x)(3(1?x)?1?x)((1?x)?21?x?1?x?23(1?x))(1?x))231?x)(1?x?3323

3?limx?0(3(1?x)?1?x?2(1?x?(1?x))1?x?1?x3?? （分离一部分出来） 1?x?1?x21?x)3 5

第一讲 极限与连续

例2．求极限limx?0(ex2?1)(1?x?1?x?2)x2 [ln(1?x)?ln(1?x)]sin1?x22解：因为当x?0时，ex2x2?1?x，ln(1?x)?ln(1?x)?ln(1?x)??x，

2sin1?x?x21?x2?x，

2所以原式＝limx?0x(1?x?21?x?2)2?x?x＝?limx?01?x?x21?x?2

1＝?limx?021?x?2x121?x＝?1414limx?01?x?1?x2 x1?x＝?14limx?021?x?(1?x)x(1?x?1?x)3＝．（分离一部分极限存在的因子）

(1?x?x例3．求极限limx?02)e?x3x1?x （直接用罗必塔法则太烦）

x2解：分子：(1?x?x22)e?xxx1?x23?(1?x?2x)e?1?(1?x?1)

x32x3(1?x?因为极限：limx?023)e?1xe(1?x?＝limx?02?e?x)x

＝lim?1?x?e3x2?x＝limx?01?e6x?x?limx?0e?xx?06?16，

1而极限：limx?01?x?1xx233＝lim2x?0x33x?12，

(1?x?于是limx?02)e?x3x1?x3＝

16?12??13．

2．带有变限积分的极限的未定式：含有变限积分的极限，一般使用洛必达法则，同时也注意与其它方法的结合． 例4．求极限limx?0?x0sin(xt)dtx52

解：令xt?u，则

6

第一讲 极限与连续

limx?0?x0sin(xt)dtx52＝limx?0?x02sin(u)x452dux ＝lim?x02sin(u)dux62x?0

＝limx?02xsinx6x54＝lim3x?01sinxx4?13．

3．幂指函数的极限：

11）lim(1?x)x＝lim(1?x??x?01x)?e

x2）利用罗必塔法则： y?u(x)例5．求极限 lim(x???v(x)?evx()ulxn，（u(x)0?(）

2?arctanx)

2xln(lim2xln(x????arctanx)1x解：lim(x???2?xarctanx)＝ lime?arxctanx???＝e)

?lim1 ＝ex???arctanx1?x?x22?e?2?．

n4. 利用泰勒公式求极限：一般地，当分母（或分子）为x时，可考虑将分子（或分母）用泰勒公式展开到x进行计算，这样往往比较简便.

常用五种函数在x0?0处的泰勒公式：

xn①e?1?x?x22!13!12!?x33!???xnn!?o(x)．

n②sinx?x?x?315!14!x???(?1)5n?1x2n?1(2n?1)!x2n??(x2n)．

③cosx?1?x?2x???(?1)4n(2n)!??(x2n)

④ln(1?x)?x?12x2?13x???(?1)3n?1xnn??(x)．

n⑤(1?x)m?1?mx?m(m?1)2!x2???m(m?1)?(m?n?1)n!xn??(x)．

n 7

第一讲 极限与连续

例6． 求极限limx?0ex2?1?sinxx242

12!解：因为e方次）

x2?1?1?x?12!x??(x)?1＝x?442x??(x)（展开到与分母同

44sinx?212(1?cosx)?2124[1?(1?12!(2x)?214!(2x)??(x))]

44?x?13x??(x)，

4于是，limx?0ex2?1?sinxx42(x??limx?0212!x??(x))?(x?x444213x??(x))44

(?limx?012?13)x??(x)x444?56?limx?0?(x)x44＝

56．

例7．（98,3分）limx?01?x?x21?x?2 解1 【 分析 】 本题为“

1原式?limx?000”型未定式，可直接用洛必塔法则求解.

121?x?2x21?x?limx?01?x?1?x

4x1?x?1?x?1121?x?14limx?01?x?x1?x?14limx?021?x?1

?1?11?1??????? 4?22?42解2 考虑到分母为x，利用泰勒公式将分子中1?x和1?x展开到x的二次幂，有

1?原式?limx?012x?18x??(x)?1?x222212x?18x??(x)?222

?1?(x)?1?lim?????. ?2x?0x4?4? 8