极限部分（第一讲）

第一讲 极限与连续

第一讲 极限与连续

题型一、数列极限的计算

方法：（1）夹逼定理； （2）单调有界准则； （3）重要公式或转化为函数极限；

（4）化为定积分； （5）无穷级数收敛的必要条件． 1．一般项un为n项和数列极限

这类题目首先想到的方法是利用积分和式求极限，适用此法un的形式简单，套得上就套，套不上就用夹逼定理，但也要注意用夹逼定理时，左、右两个极限也可能要用积分和式求极限。

例1．1）设 数列un?1n?11n?122?21n?21n?222?……?1n?n122，求极限limun．

x?? 2）设数列un???……?n?n2，求极限limun．

x??解：1） 因为 un?1112n1?()n1n?121?()n2n1?……?1n1?()n2n

1??n1i21?()n1?????n??1i?1?dx1?(x)20 ?ln(x?x?1)022?ln(1?2)

2）该题与题1）只差根号中的n?n，就不可表示为定积分了，改用夹逼定理，

1?nn?n22?un?nn?12?1（n??）

所以 limun?1

n??注意：该题un中的1n?i2起作用的是n，将各项中的i换成为1或者n后，左、右两边求

2和后的极限是一致的，但是题1）中的就不是一样的．

sin?例2． 求极限lim[n??n?n?1sinn?2?n?……＋12sin?n?1nnsinin?1i]?limx???i?1．

n? 1

第一讲 极限与连续

sin?解： 因为lim[n??n?n?1sinn?2?n?……＋12sin?n?1nnsinin?1i]＝limx???i?1，在每项提出

1n，不

n?满足积分和式求极限，因此改用夹逼定理，将分母的n?

1n?1?1n?121n?1nn?1nnn1i分别改为n?1与n，有

?1n,??,1n?1?1n?1n1nn?1n，

即有

?i?1nsini?n?un??i?1sini?n，

?i?1sini?n1?1n?un?1nn?i?1sini?n，

左边：limn???n?1nsini?n?1n1i?1＝?sin?xdx＝

02?，

右边：limn???i?1sini?n?1n＝?sin?xdx＝

02?，

所以：limun?x??2?．

2．一般项un以迭代形式给出的数列极限

一般是用单调有界准则先去证明极限limun存在，再去求极限．

n??1）直接对un进行分析或用数学归纳法验证un单调有界；

2）设limun?l（存在）代入给定的表达式中，则该式变为l的代数方程，解出l即可．

n??例3．若数列un?1?12(un?aun) (n?1,2,?3,，且u1?a（a为正常数），试证数列un极限存在，并求之．

解：1）先证明数列{un}有极限，显然对任n?N均有un?0，且

12aunauna un?1?(un?)?un??即?un?有下界，又由于

un?1un

?11un2(un?aun)?12(1?aun2)?12(1?aa)?1

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第一讲 极限与连续

即un?1?un，故数列?un?单调递减，因此极限limun存在．

x??2）再求出极限limun?l．

n??对un?1?12(un?aun)两边取极限，得l?12(l?al)，

2即 l?a，亦即l??a，

因为un?0，取l?例4．设0?x1?3，xn?1?此极限.

a，即得limun?n??a．

xn(3?xn)(n?1,2,?)，证明数列?xn?的极限存在，并求

解：先用归纳法证明?xn?有上界：首先，有0?x1?3得

0?x2?x1(3?x1)?12?x1?(3?x1)??32.

又设0?xn?32,则有

xn(3?xn)?12 0?xn?1? 再证?xn?单调增加：由 xn?1?xn???xn?(3?xn)??32.

xn(3?xn)?xn?xn(3?2xn)3?xn?xnxn(3?xn?xn)

?0,

有xn?1?xn.由单调有界准则知，limxn?a存在.

n??在递推公式xn?1?解得a?

32xn(3?xn)两边取极限，得a?a(3?a)，

, a?0（不合题意）.

3．数列un为n个因子连乘积的形式的极限

处理方法：1）取对数将其化为n项之和；2）乘除某因子，利用初等数学公式化简；3）将un作适当方次再放大，使中间各因式相消然后用夹逼定理；4）将un各式因式分解，使分子，分母相消；5）直接利用单调有界性．

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第一讲 极限与连续

例5．设数列un?n21??2??1?1?????……n??n??2n??1?un． ??，求极限limn??n??2nn1??2?n???解：数列两边取对数得 lnun?2ln?1???1??……?1??

nn??n?n???1??[ln1????2ln1?12?n???1?+?+nln1?????]

n2?n??n?n??ln?i?1??i1??，

i?1?n?nnni1limun?limin??n???i?1nln??1??1n??n?0ln(1?x)dx

???x 1?1(1?x)dx22?0ln

11?2[x2ln(1?x)1x20??01?xdx]

1?12[ln2??0(x?1)dx?ln(1?x)10]?1，

4所以极限limu14n??n＝e．

例6．设数列xn?(1?122)(1?132)……(1?1n2)，求极限limxn??n．

解： 因为数列?xn?单调减少且有下界0，所以极限limxn存在．

n??222x?2?13?1n?22?32……1nn2 ?1?322?2?432……(n?1)?(n?1)1n?11n2?2?n?2（n??），所以 limx1n??n?2．

例7． 当x?1时，求极限lim(1?x)(1?x2)(1?x4)……(1?x2n)n??． 4．利用无穷级数收敛的必要条件 例8．求极限lim2nn??n!

?n解： 讨论无穷级数?2敛散性，

n?1n! 4

?n?1????x? ?1?