2016年高三数学一轮复习第五章数列

第五章 数列

第1讲 数列的概念与简单表示法 最新考纲：

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法列表、图象、通项公式. 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

考点1 数列的有关概念

考点2 数列的表示方法 1. 表示方法

2. 数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2，?，n})的函数an＝f(n)，当自变量由小到大依次取值时所对应的一列 考点3 数列的性质

考点4 an与Sn的关系

若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝?

?S1， ?

??Sn－Sn－1，

n＝1，n≥2.

1111

1. [课本改编]数列，，，，?的一个通项公式为( )

381524

11

A. an＝n B. an＝ C. an＝

2＋1n＋2n11

D. an＝n n＋22－1

2. [2015·天津模拟]若数列{an}中，a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，则a2015的值为( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. [课本改编]数列{an}中，a1＝1，an＝

1

an－1

＋1，则a4等于( )

542

A. B. C. 1 D. 333

4. [2015· 石家庄模拟]把1,3,6,10,15,21，?这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是( )

A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 5. 若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝

1

，则等于( ) n＋1a5

n561

A. B. C. D. 30 6530考向一 由数列前几项求通项公式 [案例探究]

例1 写出下面各数列的一个通项公式：

115132961

(1)－1,7，－13,19，?； (2)0.8,0.88,0.888，?； (3)，，－，，－，，?；

248163264379

(4)，1，，，?； (5)0,1,0,1，?. 21017[学以致用]

1. 写出下面各数列的一个通项公式：

31313

(1)3,5,7,9，?； (2)1,3,6,10,15，?； (3)－1，，－，，－，，?；(4)3,33,333,3333，?.

23456考向二 由an与Sn的关系求通项公式 [案例探究]

例2 (1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋3n，则此数列的通项公式为an＝________.

1*

(2)已知数列{an}的前n项和为Sn满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N)，a1＝，求Sn.

2

2

[奇思妙想] 本例(2)中的已知条件不变，结论改为求an，如何求解？ [学以致用]

2. 若数列{an}的前n项和Sn＝3＋1，则此数列的通项公式为an＝________.

21

3. [2013·课标全国卷Ⅰ]若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.

33考向三 根据递推公式求通项公式 [案例探究]

例3 根据下列条件，求数列的通项公式an.

(1)a1＝4，an＋1＝[学以致用]

4. 根据下列条件，求数列通项公式an.

11ann*

(1)a1＝1，an＋1＝2an； (2)a1＝，an＋1＝an＋2；(3)a1＝1，且an＋1＝(n∈N)．

2n＋n3an＋1考向四 数列通项的性质 [案例探究]

例4 (1)已知数列{an}是递增数列，且对任意n∈N都有an＝n＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是( )

A. λ>0 B. λ<0 C. λ≥－2 D. λ>－3

(2)[2015·金版原创创新题]已知a1＝1，a2＝3，an＝an－1－an－2(n≥3)，则a2015＝________. [奇思妙想] 本例(2)中，已知条件不变，求数列{an}的前100项之和． [学以致用]

1

5. [2014·课标全国卷Ⅱ]数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.

1－an*

2

nn＋2

an； (2)a1＝－1，an＋1＝an＋2n； (3)a1＝1，an＋1＝2an＋1. n?10?n*

6. 已知数列{an}的通项an＝(n＋1)??(n∈N)，试问{an}中有没有最大项？若有，求出最大项及其项数；若没有，

?11?

说明理由．

1个重要关系：数列与函数的关系,数列是一种特殊的函数，在研究函数问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．

2个特殊问题：数列的周期和最值问题:(1)对于数列与周期性有关的题目，关键是找出数列的周期．(2)求数列最大项的方法：①判断{an}的单调性；②解不等式组?3种必会方法：求数列通项公式的3种方法

(1)叠加法：对于an＋1－an＝f(n)型，若f(1)＋f(2)＋?＋f(n)的和是可求的，可用多式相加法求得an. (2)叠乘法：对于?ak≥ak－1?

??ak≥ak＋1

.求数列最小项依此类推．

an＋1

＝f(n)型，若f(1)·f(2)·?·f(n)的积是可求的，可用多式相乘法求得an. an(3)构造法：对an＋1＝pan＋q型，构造等比数列，求得an. 创新交汇系列5——数列与函数的交汇性问题

[2014·陕西高考]已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2014(x)的表达式为________．

1＋x跟踪训练:已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)(n∈N)，则an＝( )

A. 2

n－1

*

x?3?n－1

B. n C. 2n－1 D. ??

?2?

第2讲 等差数列及其前n项和 最新考纲：

1.理解等差数列的概念.

2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.

考点1 等差数列的有关概念

1.等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，一般用字母d表示；定义的表达式为： (n∈N)． 2．等差数列的通项公式：若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝ . 3．等差中项：若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝ .

考点2 等差数列的前n项和公式：若已知首项a1和末项an，则Sn＝ ，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝ . 考点3 等差数列的有关性质 (1)am＝an＋(m－n)d或*

am－an*

＝d.(m、n∈N) m－n*

(2)在等差数列中，若p＋q＝m＋n，则有ap＋aq＝am＋an；若2m＝p＋q，则有ap＋aq＝ (p，q，m，n∈N)． (3)d>0?{an}是递增数列，Sn有最小值；d<0?{an}是递减数列，Sn有最大值；d＝0?{an}是常数数列． (4)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，?仍是等差数列，公差为kd. (5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，?也是等差数列． (6)S2n－1＝(2n－1)an.

(7)若n为偶数，则S偶－S奇＝d；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．

2

n1. [2014·重庆高考]在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( )

A. 5 B. 8 C. 10 D. 14

2. [课本改编]若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为( )

A. 12 B. 18 C. 22 D. 44

3. [课本改编]等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于( )

5

A. 1 B. C. 2 D. 3 3