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第十五章 随机事件与概率
例1：设A,B,C，D为四个随机事件，试用这四个事件表示下列各事件：1）这四个事件至少发生一个；2）这四个事件恰好发生两个；3）A,B都发生，而C,D都不发生；4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件至多发生一个.
例2： 有10件产品，其中3件次品，7件正品，从中任意抽取3件（不放回），求以下事件的概率：
1） 第三次取得次品；
2） 已知前两次没有取得次品第三次取得次品； 3） 不超过三次取到次品.
例3：将k个不同的球放到N(N?k)个不同的盒子中去（假设每个盒子可容纳的球数不限） ，求
1） 指定的k个盒子各装一球的概率； 2） 有k个盒子各装一球的概率； 3） 某个定的盒子装l个球的概率.
例4：一袋中装有N?1只黑球和1只白球. 每次从袋中随机地摸出一球放回并换入一只黑球，这样继续，求第k次摸球时摸到黑球的概率.
例5：从1到9这9个数字中，有放回地取3次，每次任取1个，求所取的3个数之积能被10整除的概率.（答案：0.786）
例6：一批产品共有N件，其中包含M件次品，现采用“放回抽样”与“不放回抽样”方式，从中任取n件，求抽出的n件产品中恰有k件次品的概率.
例7：玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8, 0.1, 0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地察看4只； 若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回. 试求
1）顾客买下该箱的概率；
2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.
（答案：1）0.8+0.1?(
19490.8)?0.1?()4?0.947; 2)?0.845 ） 20100.947例8：已知100件产品中有10件绝对可靠的正品，每次使用这些正品时肯定不会发生故障，而在每次使用非正品时，均有0.1可能性发生故障，现从100件产品中随机抽取一件，若使用了n次均未发生故障，问n为多大时，才能有70%的把握认为所取的产品为正品？
（答案：n?29）
例9：假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，以概率0.20定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了n(n?2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求
1） 2） 3）
全部能出厂的概率?；
其中恰好有两件不能出厂的概率?； 其中至少有两件不能出厂的概率?.
n2??0.94；（答案：1）2）3） ??1?0.06n?0.94n?1?0.94n）??Cn(0.94)n?2?0,062；
例10：每次射击命中的概率为0.2，问至少要进行多少独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9？
例11：．加工某一零件共需经过4道工序。设一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03. 假设4道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率. （答案：0.124）
第十六章 随机变量及其概率分布
一、一维随机变量及其概率分布
2kC,k?0,1,2,...，则常数C等于 例1：已知随机变量X的分布律为：P{X?k}?k!(A)e?1;(B)e?2;(C)e?3;(D)e?4;
例2： 已知X3~N(1,72), 则P{1?X?2}?
(A)Φ(2)?Φ(1);(B)Φ(32)?Φ(1);(C)Φ(1)?1/2;(D)Φ(33)?Φ(32);
例3：设机变量X服从指数分布，则随机变量Y?min{X,2}的分布函数
(A) 是连续分布； (B) 至少有两个间断点； (C) 是阶梯函数； (D) 恰好有一个间断点.
例4：设Fi(x)为随机变量Xi的分布函数（i?1,2), 问 （1）下列四个函数哪一个是某一随机变量的分布函数？ （A）F1(x)?F2(x) （B）F1(x)?F2(x) （C）F1(x)?F2(x) （D）F1(x)/F2(x)
（2）a、b满足什么条件时，aF1(x)?bF2(x)必是某一随机变量的分布函数？ 例5：已知X的概率密度f(x)?Ae?(x?12)2，且aX?b~N(0,1)(a?0)，则常数
A= ，(a,b)= . 例6：若随机变量Ｘ服从均值为２，方差为?的正态分布，且P{2?X?4}?0.3，则P{X?0}?
例7：有10件产品，其中3件次品，7件正品，今随机地从中抽取产品，每次一件，直到取到正品为止，求：1)若有放回抽取，求抽取次数X的概率分布；2）若有放回抽取，求抽取次数X的概率分布.
例8：设篮球队A与B进行比赛，若有一队胜4场则比赛结束. 假定A、B在每场比赛中获胜的概率都是1/2，试求需要比赛场数X的分布律.
2
例9：设随机变量X的概率密度
?Ax,1?x?2?f(x)??B,2?x?3
?0,其它? 且P{1?X?2}?P{2?X?3}，求1）常数A,B；2）分布函数F(x)；3）概率
P{2?X?4}.
例10：设随机变量X的密度函数为
?(x)?Ax2e?x,???x???，试求：1）A的
2值；2）X的分布函数；3）P{?1?X?2}；4）Y?X的密度函数.
?12x(x?2x?2)e,x?0?41（答案：1）A?；2）F(x)??
14?1?(x2?2x?2)e?x,x?0?40,?y?05?25?1? 3）1?e?e；4）?Y(y)??1 ） ?yye,24y?0??4例11：设随机变量X的分布函数F(x)连续且严格单调，1）求随机变量Y?F(X)的密度函数；2）求Z??2lnF(x)的密度函数.
y?0?0,?1,0?y?1?（答案：1）FY(y)??y,0?y?1 ?Y(y)??
0,其他??1y?1??0,?z?0??0,zz?0z??(z)? 2）FZ(z)?? ） 1??Z22e,z?0???1?e,z?0?2例11：设某种电子元件的寿命（单位：h）X～N(160,400)，随机地取10个元件，求
1)恰有两个元件的寿命大于140h而小于180h的概率； 2）至少有两个元件的寿命大于180h的概率. （答案：1）0.0022；2）0.4873 ）
例12：假设一大型设备在任何时长为t的时间内发生故障的次数N(t)服从参数为?t的指数分布.
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