高三数学一轮复习考纲、知识点及题库 第十一章 算法、统计与统计案例 用样本估计总体

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第十一章 算法、统计与统计案例

§11.3 用样本估计总体

最新考纲 1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点． 2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差． 3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数，标准差)，并做出合理的解释． 4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想． 5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.

错误!错误!----------

考情考向分析 主要考查平均数，方差的计算以及茎叶图与频率分布直方图的简单应用；题型以选择题和填空题为主，出现解答题时经常与概率相结合，难度为中低档. 知识梳理 -----------

1．作频率分布直方图的步骤

(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)． (2)决定组距与组数． (3)将数据分组． (4)列频率分布表． (5)画频率分布直方图．

2．频率分布折线图和总体密度曲线

(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线． 3．茎叶图

统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．

4．众数、中位数、平均数

数字特征 概念 一组数据中重复出现次数最多的数 优点与缺点 众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数．但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征 中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 众数 把一组数据按从小到大顺序排中位数 列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数) 可以反如果有n个数据x1，x2，…，xn，平均数与每一个样本数据有关，平均数 那么这n个数的平均数 x1＋x2＋…＋xnx＝ n

5.标准差和方差

(1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离． (2)标准差： s＝

1[?x1－x?2＋?x2－x?2＋…＋?xn－x?2]. n

映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低 1

(3)方差：s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2](xn是样本数据，n是样本容量，x是样

n本平均数)． 概念方法微思考

1．在频率分布直方图中如何确定中位数？

【提示】在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积是相等的． 2．平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特征？

【提示】平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况，即标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；反之离散程度越小，越稳定． 错误!错误!错误!

错误!错误!-----------

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

基础自测 ------------

(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( √ ) (2)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．( × )

(3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．( √ )

(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( × )

(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( √ ) (6)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．( × ) 题组二 教材改编

2．[P100A组T2(1)]一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为( )

A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B

n

【解析】设频数为n，则＝0.25，

321

∴n＝32×＝8.

4

3．[P81A组T1]若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )

A．91.5和91.5 C．91和91.5 【答案】A

91＋92

【解析】∵这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，∴中位数是＝91.5，

287＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96

平均数x＝＝91.5.

8

4．[P71T1]如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民有______人．

B．91.5和92 D．92和92

【答案】25

【解析】0.5×0.5×100＝25. 题组三 易错自纠

5．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数x＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为( ) A．5,2 C．16,18 【答案】C

【解析】∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为5， ∴∴

x1＋x2＋x3＋…＋xn

＝5，

n

3x1＋3x2＋3x3＋…＋3xn

＋1＝3×5＋1＝16，

n

B．16,2 D．16,9

∵x1，x2，x3，…，xn的方差为2，

∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.

6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为x，则m，n，x的大小关系为________．(用“<”连接)

【答案】n

【解析】由图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5,6)的平均数，即m＝5.5；又5出现次数最多，故n＝5； x＝

2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10

30