2020高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第1讲 空间几何体学案 文

2019年

11．(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________． 答案 8π

12

解析 在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝·SA＝8，

2解得SA＝4.

设圆锥的底面圆心为O，底面半径为r，高为h， 在Rt△SAO中，∠SAO＝30°， 所以r＝23，h＝2，

1122

所以圆锥的体积V＝πr·h＝π×(23)×2＝8π.

33

12．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且AB＝5，BC＝7，AC＝2，则此三棱锥外接球的表面积是________． 答案 8π

解析 如图PA，PB，PC两两垂直，设PC＝h，

则PB＝BC－PC＝7－h，

222PA＝AC2－PC2＝4－h2，

由PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB， 得PC⊥平面PAB，∴PC⊥AB，

即PA＋PB＝AB，∴4－h＋7－h＝5，

解得h＝3，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3， ∴以PA，PB，PC为棱构造一个长方体,则这个长方体的外接球就是三棱锥P－ABC的外接球， ∴由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的球心，三棱锥的外接球的半径为R＝∴外接球的表面积为S＝4πR＝4π×(2)＝8π.

B组 能力提高

13．若四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为( )

2

2

2

2

2

2

2

1＋4＋3

＝2， 2

2019年

81π81π101π101πA. B. C. D.

520520答案 C

解析 根据三视图还原几何体为一个四棱锥P－ABCD，如图所示，

平面PAD⊥平面ABCD，由于△PAD为等腰三角形，PA＝PD＝3，AD＝4，四边形ABCD为矩形，CD＝2，过△PAD的外心F作平面PAD的垂线，过矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂线，两条垂线交于一点O，则O为四棱锥外接球的球心，

3＋3－4145在△PAD中，cos∠APD＝＝，则sin∠APD＝，

2×3×3992PF＝

49595

＝＝，PF＝，

sin∠APD45510

9

955

＝， 1010

2

2

2

ADPE＝9－4＝5，OH＝EF＝5－BH＝

1

16＋4＝5， 2

OB＝OH2＋BH2＝

5505＋5＝， 10010

505101π

所以S＝4π×＝.

1005

14．(2018·龙岩质检)如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥侧面积的取值范围为( )

2019年

A．(1,2) C．(0,2] 答案 D

B．(1,2] D．(0,2)

解析 设四棱锥一个侧面为△APQ，∠APQ＝x，过点A作AH⊥PQ，

1AC－PQ22－PQ则AH＝PQ×tan x＝＝

2221

＝2－PQ，

2

222tan x∴PQ＝，AH＝，

1＋tan x1＋tan x1

∴S＝4××PQ×AH＝2×PQ×AH

2＝2×∵S＝＝

222tan x8tan x?π，π?，

×＝?2，x∈?1＋tan x1＋tan x?1＋tan x??42?8tan x8tan x 2＝2

?1＋tan x?1＋tanx＋2tan x8≤＝2， 2＋2

＋tan x＋28

1tan x?当且仅当tan x＝1，即x＝π时取等号?， ??4??

而tan x>0，故S>0，

∵S＝2时，△APQ是等腰直角三角形，

顶角∠PAQ＝90°，阴影部分不存在，折叠后A与O重合，构不成棱锥， ∴S的取值范围为(0,2)，故选D.

15．在棱长为2的正四面体P－ABC中，M，N分别为PA，BC的中点，点D是线段PN上一点，且PD＝2DN，则三棱锥D－MBC的体积为________． 答案

2

9

解析 由题意得VD－BMC＝VM－BDC，

AN＝22－12＝3，DN＝×3＝

所以AD＝

133. 3

?3?－?2

?3?226

?＝3. ?3?

2019年 1266所以三棱锥M－BDC的高为×＝. 2331?33?

因为S△BCD＝×?×22?＝.

3?4?31362

所以VD－BMC＝VM－BDC＝××＝.

3339

16．(2018·衡水金卷信息卷)在正三棱锥A－BCD中，M，N分别是AB，BC上的点，且MN∥AC，AM＝5MB，MD⊥MN，若侧棱AB＝1，则正三棱锥A－BCD的外接球的表面积为________． 答案 3π

解析 设底面边长为a，则在△BCD中，

BN＝BC＝a，∠DBN＝，

312222

由余弦定理，得DN＝BD＋BN－2BD·BN·cos∠DBN＝a，

36∴DN＝

31a. 6

2

1616π3

2－a同理，在△ABD中，cos∠BAD＝，

25

在△AMD中，AM＝，DM＝

611

∵MD⊥MN，MN＝AC＝，

66

521

a＋， 636

DM2＋MN2＝DN2，

52113122

即a＋＋＝a，∴a＝2，a＝2. 6363636设A在底面BCD 上的射影为E，

26322则BE＝BCsin 60°×＝，AE＝AB－BE＝. 333设外接球的半径为R，则R＝?∴R＝

3

， 2

2

2

?3?22

－R?＋BE， ?3?

∴正三棱锥A－BCD的外接球的表面积为S＝4πR＝3π.