信息光学复习笔记

矩形函形

?x?x0???1, rec?t???a???0,?x?x01?a2 其他函数以x0为中心，宽度为a（a>0）高度为1的矩形，当x0=0，a=1时，矩形函数形式变成rect(x),它是以x=0为对称轴的，高度和宽度均为1的矩形。当x0=0, a=1时，矩形函数形式变成rect(x)，它是以x=0

?x?x0??y?y0?a，为对称轴的，高度和宽度均为1的矩形，二维矩形函数可表为一维矩形函数的乘积rect????，

ab????b>0

sinc函数

?x?x0?sin??x?x0?/a sinc? ????a?x?x0/a??a>0，函数在x=x0处有最大值1。零点位于x?x0??na?n?1,2??.对于x0=0，a=1，函数图像

三角函数

?x?x??1?, ?????a?a??0,?x?a其它 a>0，函数以原点为中心，底边长为2a，高度为1的等腰三角形

符号函数

?1,x?0?nx???0,x?0 sg???1,x?0?阶跃函数

?1,x?0 ste?p x????0,x?0圆柱函数

?x2?y2 在直角坐标系内圆柱函数定义式 circ??a??????1,???0,??x2?y2?a其它

?r??1，r?a极坐标内的定义式为 cir?c???

?a??0，r?a

卷积的定义

函数f?x?和函数h?x?的一维卷积，有含参变量的无穷积分定义，即

g?x??????f?x?h?x???d??f?x?*h?x?

?定义f?x?和h?x?的二维卷积：g?x,y??卷积的基本性质 线性性质 交换律

平移不变性 f?x?x1?*h?x?x2 ??结合律

坐标缩放性质 f?ax?*h?ax??1g?ax? a?????f??,??h?x??,y???d?d??f?x,y?*h?x,y?

???f???x?h?x???x?d??g?x?x121?x2?

函数f?x,y?与?函数的卷积f?x,y?*??x,y???????f??,????x??,y???d?d??f?x,y?

即任意函数f?x,y?与?函数的卷积，得出函数f?x,y?本身，而f?x,y?*??x?x0,y?y0??f?x?x0,y?y0? 互相关 两个函数f?x,y?和g?x,y?的无相关定义为含参变量的无穷积分，即 Rfg?x,y???或 Rfg?x,y????????f*???x,??y?g??,??d?d??f?x,y?☆g?x,y?

???f?x,y?g?x??,y???d?d??f?x,y?☆g?x,y?

*互相关卷积表达式：f?x,y?☆g?x,y??f*??x,?y?*g?x,y?

*性质：（1）Rgf?x,y??Rfg?x,y?，即互相关不具有交换性，而有Rgf?x,y??Rfg??x,?y?

（2）Rfg?x,y??Rff?0,0?Rgg?0,0?

自相关 当f?x,y??g?x,y?时，即得到函数f的自相关定义式

2Rff?x,y???????f*???x,??y?f??,??d?d??f?x,y?☆f?x,y?

和 Rff?x,y??f*??x,?y?*f?x,y?

??性质：（1）自相关函数具有厄密对称性Rff?x,y??R*ff??x,?y? 当f?x,y?是实函数时，Rffx,y是偶函数

（2）Rff?x,y??Rff?0,0?

傅里叶变换基本性质 线性性质 F??,???对称性 设F??,???迭次傅里叶变换

以两次连续傅里叶为例，则有{{f?x,y?}}=f??x,?y?对二元函数连续作二维傅里叶变换，即得其倒立像

坐标缩放性质

a,b为不等于零的实常数，若

?f?x,y??,G??,????g?x,y??,a,b为常数，则?af?x,y??bg?x,y???aF??,???gG??,?? ?f?x,y??,则?F??,????f???,???

?f?x,y???F??,??，则?f?ax,by???1????F?,? ab?ab?函数f?x,y?的图像变窄，其傅里叶变换F??,??的图像将变宽变矮；f?x,y?的图像变宽，则F??,??的将变窄变高 平移性 设

?f?x,y???F??,??，且x0,y0为实常数，则有?f?x?x0,y?y0???exp??j2???x0??y0??F??,??

体积对应关系 设

?f?x,y???F??,??，则有F?0,0????f?x,y?dxdy，f?0,0????F?x,y?d?d?

??????复共轭函数的傅里叶变换 设

*?f?x,y???F??,??，则

***?f?x,y???F???,???，?f??x,?y???F??,??

若f?x,y?为实数，显然有F??,???F*???,???此时称F??,??具有厄米对称性 傅里叶变换基本定理 卷积定理 设

?f?x,y???F??,??，设?g?x,y???G??,??，则有

?f?x,y?*g?x,y???F??,??G??,??和?f?x,y?g?x,y???F??,??*G??,??

相关定理（维纳——辛钦定理） （1） 互相关定理 设

?f?x,y???F??,??，?g?x,y???G??,??，则有

F*??,??G??,??为函数f?x,y?和g?x,y?的互谱量密度或简称互

?f?x,y?☆g?x,y???F*??,??G??,??

谱密度

（2） 自相关定理 设 巴塞伐定理 设

?f?x,y???F??,??，则有

?f?x,y?☆g?x,y???F??,??2 F??,??2为f?x,y?的能谱密度

?2??f?x,y???F??,??，且积分设??f?x,y????dxdy与?2???F??,??d?d?都存在，则有

2

????f?x,y?dxd?y?2????F??,??d?d?

广义巴塞伐定理 设

?f?x,y???F??,??，?g?x,y???G??,??，则有

???导数定理 设

??f?x,y?g?x,y?dxdy???F??,??G*??,??d?d?

*????f?x,y???F??,??,fm?m,n??m?nf?x,y??m,n??m?nF??,???x,y????,???,F,则有 mnmn?x?y?????f?m,n??x,y????j2????j2???nF??,??

??j??j?xyf?x,y??????F?m,n???,??

?2???2??mn?mn积分定理 设

??f?x,???F???则有

mn?x?1j??f?d?F??? ????F?0??????2??????2?矩定理

??x??yf?x,y?dxd,ym,n?0,1,2?零阶矩定理 此时m=n=0，即有????f?x,y?dxdy?F?0,0?

?f1?x1,y1??，

线性系统：一个系统同时具有叠加性和均匀性时

一个系统对输入f1和f2的输出响应分别为g1和g2，即有g1?x2,y2??g2?x2,y2???f2?x1,y1?? ?f1(x1,y1)?f2?x1,y1????af1?x1,y1???a?f1?x1,y1??+

?f2?x1,y1??=g1?x2,y2??g2?x2,y2?

叠加性：均匀性：

?f1?x1,y1??=ag1?x2,y2?

?线性平移不变系统：系统既具有线性又具有空间平移不变性

g?x,y?f?x,y?h?x,y?用表达式可以表示为： ???f??,??h?x??,y???d?d??*输出函数输入函数单位脉冲响应??线性平移不变系统的传递函数：H??,???G??,??

F??,??说明：原点脉冲响应的频谱密度可以表征系统对输入函数中不同频率的基元成分的传递能力

传递函数H??,??一般是复函数，其模的作用在于改变输入函数各种频率基元成分的模，其辐角的作用在于改变这些基元成分的初相位 本征函数：函数f?x,y?满足条件

?f?x,y???af?x,y?式中a为一复常数，则称f?x,y?为算符

{…}所表征

的系统的本征函数

系统的本征函数是一个特定的输入函数，相应的输出函数与输入函数之比是一个复常数

平面波的空间频率：空间呈正弦或余弦变化的物理量在其某一方向上单位距离所包含的空间周期数 平面波的复振幅表达式：U?x,y,z??aexp?jk?xcos??ycos??cos????aexp?j2???x??y??z?? 分别沿x,y,z方向的空间频率：??空间角频率：k?2?cos??,??cos??,??cos??

?

1表示平面波沿传播方向的空间频率 ?