物理学（第五版）马文蔚第1至8章习题答案

与壁的夹角φ为

FN24π2Rv2 ?arctan?arctan222FN14πR?hg??讨论 表演飞车走壁时,演员必须控制好运动速度,行车路线以及摩托车的方位,以确保三者之间满足解题用到的各个力学规律．

2 -13 一质点沿x轴运动,其受力如图所示,设t ＝0 时,v0＝5m·ｓ ,x0＝2 m,质点质量m ＝1kg,试求该质点7ｓ末的速度和位置坐标．

-1

分析 首先应由题图求得两个时间段的F(t)函数,进而求得相应的加速度函数,运用积分方法求解题目所问,积分时应注意积分上下限的取值应与两时间段相应的时刻相对应．

解 由题图得

0?t?5s?2t, F?t???35?5t, 5s?t?7s?由牛顿定律可得两时间段质点的加速度分别为

a?2t, 0?t?5s a?35?5t, 5s?t?7s

对0 ＜t ＜5ｓ 时间段,由a?dv得 dt?积分后得 v?5?t 再由v?2vv0dv??adt

0tdx得 dt?积分后得x?2?5t?t

xx0dx??vdt

0t133将t ＝5ｓ 代入,得v5＝30 m·ｓ 和x5 ＝68.7 m 对5ｓ＜t ＜7ｓ 时间段,用同样方法有

-1

?再由 得

vv02dv??a2dt

5st得 v?35t?2.5t?82.5t

?xx5dx??vdt

5stx ＝17.5t2 -0.83t3 -82.5t ＋147.87

将t ＝7ｓ代入分别得v7＝40 m·ｓ 和 x7 ＝142 m

2 -14 一质量为10 kg 的质点在力F 的作用下沿x 轴作直线运动,已知F ＝120t ＋40,式中F 的单位为N,t 的单位的ｓ．在t ＝0 时,质点位于x ＝5.0 m处,其速度v0＝6.0 m·ｓ-1 ．求质点在任意时刻的速度和位置．

分析 这是在变力作用下的动力学问题．由于力是时间的函数,而加速度a＝dv/dt,这时,动力学方程就成为速度对时间的一阶微分方程,解此微分方程可得质点的速度v (t)；由速度的定义v＝dx /dt,用积分的方法可求出质点的位置．

解 因加速度a＝dv/dt,在直线运动中,根据牛顿运动定律有

-1

120t?40?mdv dt-1

依据质点运动的初始条件,即t0 ＝0 时v0 ＝6.0 m·ｓ ,运用分离变量法对上式积分,得

?dv???12.0t?4.0?dt

v00vtv＝6.0+4.0t+6.0t2

又因v＝dx /dt,并由质点运动的初始条件：t0 ＝0 时x0 ＝5.0 m,对上式分离变量后积分,有

xt?x0dx??6.0?4.0t?6.0t2dt

03

-1

??x ＝5.0+6.0t+2.0t2 +2.0t3

2 -15 轻型飞机连同驾驶员总质量为1.0 ×10 kg．飞机以55.0 m·ｓ 的速率在水平跑道上着陆后,驾驶员开始制动,若阻力与时间成正比,比例系数α＝5.0 ×10 N·ｓ ,空气对飞机升力不计,求：(1) 10ｓ后飞机的速率；(2) 飞机着陆后10ｓ内滑行的距离．

分析 飞机连同驾驶员在水平跑道上运动可视为质点作直线运动．其水平方向所受制动力F 为变力,且是时间的函数．在求速率和距离时,可根据动力学方程和运动学规律,采用分离变量法求解．

解 以地面飞机滑行方向为坐标正方向,由牛顿运动定律及初始条件,有

2

-1

dv??αt dtvtαtdv???v0?0mdt α2t 得 v?v0?2mF?ma?m因此,飞机着陆10ｓ后的速率为

v ＝30 m·ｓ-1

又

α2??dx?v?dt ??x0?0?02mt??xt故飞机着陆后10ｓ内所滑行的距离

s?x?x0?v0t?α3t?467m 6m2

2 -16 质量为m 的跳水运动员,从10.0 m 高台上由静止跳下落入水中．高台距水面距离为h．把跳水运动员视为质点,并略去空气阻力．运动员入水后垂直下沉,水对其阻力为bv ,其中b 为一常量．若以水面上一点为坐标原点O,竖直向下为Oy 轴,求：(1) 运动员在水中的速率v与y 的函数关系；(2) 如b /m ＝0.40m ,跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0 的1 /10？ (假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等)

-1

分析 该题可以分为两个过程,入水前是自由落体运动,入水后,物体受重力P、浮力F 和水的阻力Fｆ的作用,其合力是一变力,因此,物体作变加速运动．虽然物体的受力分析比较简单,但是,由于变力是速度的函数(在有些问题中变力是时间、位置的函数),对这类问题列出动力学方程并不复杂,但要从它计算出物体运动的位置和速度就比较困难了．通常需要采用积分的方法去解所列出的微分方程．这也成了解题过程中的难点．在解方程的过程中,特别需要注意到积分变量的统一和初始条件的确定．

解 (1) 运动员入水前可视为自由落体运动,故入水时的速度为

v0?2gh 运动员入水后,由牛顿定律得

P -Fｆ -F ＝ma 由题意P ＝F、Fｆ＝bv ,而a ＝dv /dt ＝v (d v /dy),代 入上式后得

2

-bv2＝ mv (d v /dy)

考虑到初始条件y0 ＝0 时, v0?2gh,对上式积分,有

vdv?m??dy????0?b??v0v t

v?v0e?by/m?2ghe?by/m

(2) 将已知条件b/m ＝0.4 m ,v ＝0.1v0 代入上式,则得

-1

y??mvln?5.76m bv0 *2 -17 直升飞机的螺旋桨由两个对称的叶片组成．每一叶片的质量m＝136 kg,长l＝3.66 m．求当它的转速n＝320 r/min 时,两个叶片根部的张力．(设叶片是宽度一定、厚度均匀的薄片)

分析 螺旋桨旋转时,叶片上各点的加速度不同,在其各部分两侧的张力也不同；由于叶片的质量是连续分布的,在求叶片根部的张力时,可选取叶片上一小段,分析其受力,列出动力学方程,然后采用积分的方法求解．

解 设叶片根部为原点O,沿叶片背离原点O 的方向为正向,距原点O 为r处的长为dr一小段叶片,其两侧对它的拉力分别为FＴ(r)与FＴ(r＋dr)．叶片转动时,该小段叶片作圆周运动,由牛顿定律有

dFT?FT?r??FT?r?dr??由于r ＝l 时外侧FＴ ＝0,所以有

m2ωrdr l?tFT?r?dFT??lrmω2rdr lmω2222πmn222FT?r???l?r??l?r

2ll????上式中取r ＝0,即得叶片根部的张力

FＴ0 ＝-2.79 ×105 N

负号表示张力方向与坐标方向相反．

2 -18 一质量为m 的小球最初位于如图(a)所示的A 点,然后沿半径为r的光滑圆轨道ADCB下滑．试求小球到达点C时的角速度和对圆轨道的作用力．