物理学（第五版）马文蔚第1至8章习题答案

对上式积分,有

?y0dy????1/20v0vdv 2g?kv?kv2?则 v?v0??1?g????

2 -22 质量为m 的摩托车,在恒定的牵引力F的作用下工作,它所受的阻力与其速率的平方成正比,它能达到的最大速率是vm ．试计算从静止加速到vm/2所需的时间以及所走过的路程．

分析 该题依然是运用动力学方程求解变力作用下的速度和位置的问题,求解方法与前两题相似,只是在解题过程中必须设法求出阻力系数k．由于阻力Fr ＝kv ,且Fr又与恒力F 的方向相反；故当阻力随速度增加至与恒力大小相等时,加速度为零,此时速度达到最大．因此,根据速度最大值可求出阻力系数来．但在求摩托车所走路程时,需对变量作变换．

解 设摩托车沿x 轴正方向运动,在牵引力F和阻力Fr 同时作用下,由牛顿定律有

2

F?kv2?m当加速度a ＝dv/dt ＝0 时,摩托车的速率最大,因此可得

dv (1) dtk＝F/vm2 (2)

由式(1)和式(2)可得

?v2?dv? (3) F?1??m?v2?dtm??根据始末条件对式(3)积分,有

?1?则 t?又因式(3)中mt0dt?mF?1vm20?v2???1?v2??dv

m??mvmln3 2Fdvmvdv,再利用始末条件对式(3)积分,有 ?dtdx1m2vm?v2??0dx?F?0??1?v2??dv

m??x?122mvm4mvmln?0.144则 x? 2F3F*2 -23 飞机降落时,以v0 的水平速度着落后自由滑行,滑行期间飞机受到的空气阻力F1＝-k1 v2 ,升力F2＝k2 v2 ,其中v为飞机的滑行速度,两个系数之比k1/ k2 称为飞机的升阻比．实验表明,物

体在流体中运动时,所受阻力与速度的关系与多种因素有关,如速度大小、流体性质、物体形状等．在速度较小或流体密度较小时有F∝v,而在速度较大或流体密度较大的有F∝v ,需要精确计算时则应由实验测定．本题中由于飞机速率较大,故取F∝v 作为计算依据．设飞机与跑道间的滑动摩擦因数

2

2

为μ,试求飞机从触地到静止所滑行的距离．以上计算实际上已成为飞机跑道长度设计的依据之一．

分析 如图所示,飞机触地后滑行期间受到5 个力作用,其中F1为空气阻力, F2 为空气升力, F3 为跑道作用于飞机的摩擦力,很显然飞机是在合外力为变力的情况下作减速运动,列出牛顿第二定律方程后,用运动学第二类问题的相关规律解题．由于作用于飞机的合外力为速度v的函数,所求的又是飞机滑行距离x,因此比较简便方法是直接对牛顿第二定律方程中的积分变量dt 进行代换,将dt 用

dx代替,得到一个有关v 和x 的微分方程,分离变量后再作积分． v FN?k1v?m解 取飞机滑行方向为x 的正方向,着陆点为坐标原点,如图所示,根据牛顿第二定律有

dv (1) dtFN?k2v2?mg?0 (2)

2将式(2)代入式(1),并整理得

?μmg??k1?μk2?v2?m分离变量并积分,有

dvdv?mv dtdx?得飞机滑行距离

vv0?mvdv??dx 2?0μmg??k1?μk2?v?μmg??k1?μk2?v2?mx?ln? (3)

2?k1?μk2??μmg??考虑飞机着陆瞬间有FN＝0 和v＝v0 ,应有kv0 ＝mg,将其代入(3)式,可得飞机滑行距离x 的另一表达式

2?k1?k2v0?x?ln?? 2g?k1?μk2??μk?2?2

2

讨论 如飞机着陆速度v0＝144 km·h,μ＝0.1,升阻比560 m,设计飞机跑道长度时应参照上述计算结果．

-1

k1

?5,可算得飞机的滑行距离x ＝k2

2 -24 在卡车车厢底板上放一木箱,该木箱距车箱前沿挡板的距离L ＝2.0 m,已知刹车时卡车的加速度a ＝7.0 m·ｓ ,设刹车一开始木箱就开始滑动．求该木箱撞上挡板时相对卡车的速率为

-2

多大？设木箱与底板间滑动摩擦因数μ＝0.50．

分析 如同习题2 -5 分析中指出的那样,可对木箱加上惯性力F0 后,以车厢为参考系进行求解,如图所示,此时木箱在水平方向受到惯性力和摩擦力作用,图中a′为木箱相对车厢的加速度．

解 由牛顿第二定律和相关运动学规律有

F0 -Fｆ＝ma -μmg＝ma′ (1) v′ 2 ＝2a′L (2)

联立解(1)(2)两式并代入题给数据,得木箱撞上车厢挡板时的速度为

v??2?a?μg?L?2.9m?s?2

*2 -25 如图(a)所示,电梯相对地面以加速度a 竖直向上运动．电梯中有一滑轮固定在电梯顶部,滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为m1 和m2 的物体A和B．设滑轮的质量和滑轮与绳索间的摩擦均略去不计．已知m1 ＞m2 ,如以加速运动的电梯为参考系,求物体相对地面的加速度和绳的张力．

分析 如以加速运动的电梯为参考系,则为非惯性系．在非惯性系中应用牛顿定律时必须引入惯性力．在通常受力分析的基础上,加以惯性力后,即可列出牛顿运动方程来．

解 取如图(b)所示的坐标,以电梯为参考系,分别对物体A、B 作受力分析,其中F1 ＝m1a,F2 ＝

m2a 分别为作用在物体A、B 上的惯性力．设ar为物体相对电梯的加速度,根据牛顿定律有

m1g?m1a?FT1?m1ar(1) m2g?m2a?FT2??m2ar (2)

FT2?FT2 (3)

由上述各式可得

ar?m1?m2?g?a?

m1?m22m1m2?g?a?

m1?m2FT2?FT2?由相对加速度的矢量关系,可得物体A、B 对地面的加速度值为

a1?ar?a??m1?m2?g?2m2a

m1?m22m1a??m1?m2?g

m1?m2a2???ar?a???a2 的方向向上, a1 的方向由ar 和a 的大小决定．当ar ＜a,即m1g -m2g -2m2 a＞0 时,a1 的方

向向下；反之, a1 的方向向上．

*2 -26 如图(a)所示,在光滑水平面上,放一质量为m′的三棱柱A,它的斜面的倾角为α．现把一质量为m 的滑块B 放在三棱柱的光滑斜面上．试求：(1)三棱柱相对于地面的加速度；(2) 滑块相对于地面的加速度；(3) 滑块与三棱柱之间的正压力．

分析 这类问题可应用牛顿定律并采用隔离体法求解．在解题的过程中必须注意：

(1) 参考系的选择．由于牛顿定律只适用于惯性系,可选择地面为参考系(惯性系)．因地面和斜面都是光滑的,当滑块在斜面上下滑时,三棱柱受到滑块对它的作用,也将沿地面作加速度为aA 的运动,这时,滑块沿斜面的加速度aBA ,不再是它相对于地面的加速度aB 了．必须注意到它们之间应满足相对加速度的矢量关系,即aB ＝aA ＋aBA ．若以斜面为参考系(非惯性系),用它求解这类含有相对运动的力学问题是较为方便的．但在非惯性系中,若仍要应用牛顿定律,则必须增添一惯性力F,且有

F ＝maA ．