广东省2012届高三下学期高考模拟仿真试题（三）文科数学

由题意知：b＝3，c＝1,2,3,4,5,6，基本事件总数为：(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(3,6)共6个．(2分)

因为函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零点，所以方程x2＋bx＋c＝0有实数根，

9

即Δ＝b2－4c≥0，所以c≤，所以c＝1,2，(4分)

4

即事件“函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零点”包含2个基本事件 21

故函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零点的概率P(A)＝＝.(6分)

63

(2)由题意可知：数对(b，c)表示的基本事件：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,1)、?、(6,5)、(6,6)，所以基本事件总数为36.(8分)

记“函数y＝f(x)在区间(－3，＋∞)上是增函数”为事件B.由抛物线y＝f(x)的开口向上，b

使函数y＝f(x)在区间(－3，＋∞)上是增函数，只需－≤－3，所以b≥6，所以b＝6.(10分)

2

所以事件B包含的基本事件个数为1×6＝6个．(12分)

61

所以函数y＝f(x)在区间(－3，＋∞)是增函数的概率P(B)＝＝.(13分)

366 18.(本小题满分13分)

如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC∩BD＝G.

(1)求证：AE⊥平面BCE； (2)求证：AE∥平面BFD； (3)求三棱锥C－BGF的体积．

解：(1)证明：因为AD⊥平面ABE，AD∥BC. 所以BC⊥平面ABE，则AE⊥BC.(2分) 又因为BF⊥平面ACE，则AE⊥BF.

又BF∩BC＝B，所以AE⊥平面BCE.(4分)

(2)证明：依题意可知：G是AC中点．

因为BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC＝BE. 所以F是AC中点．(7分)

在△AEC中，FG∥AE，所以AE∥平面BFD.(8分)

(3)解法1：因为AE∥平面BFD，所以AE∥FG，而AE⊥平面BCE. 所以FG⊥平面BCE，所以FG⊥平面BCF.(9分)

1

因为G是AC中点，F是CE中点．所以FG∥AE且FG＝AE＝1.(10分)

2

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11

所以Rt△BCE中，BF＝CF＝CE＝2.所以S△CFB＝×2×2＝1.(12分)

2211

所以VC－BFG＝VG－BCF＝·S△CFB·FG＝.(13分)

33

111111

解法2：VC－BFG＝VG－BCF＝VC－ABE＝·VA－BCE＝××·BC·BE·AE＝.(13分)

444323 19.(本小题满分14分)

x2y21

已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆

ab2与直线x－y＋6＝0相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P(4,0)，A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明：直线AE与x轴相交于定点Q；

→→

(3)在(2)的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求OM·ON的取值范围． c1

解：(1)由题意知e＝＝，(2分)

a2

22

c2a－b14

所以e＝2＝2＝，即a2＝b2.(3分)

aa43

2

又因为b＝

6

＝3，所以a2＝4，b2＝3. 1＋1

x2y2

故椭圆C的方程为＋＝1.(4分)

43

(2)由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y＝k(x－4)． y＝k?x－4???22由?xy，得(4k2＋3)x2－32k2x＋64k2－12＝0.① ??4＋3＝1设点B(x1，y1)，E(x2，y2)，则A(x1，－y1)． y2＋y1直线AE的方程为y－y2＝(x－x2)．

x2－x1y2?x2－x1?

令y＝0，得x＝x2－.

y2＋y1

将y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)代入整理， 2x1x2－4?x1＋x2?得x＝.②

x1＋x2－8

64k2－1232k2

由①得x1＋x2＝2，x1x2＝2代入②整理得x＝1.

4k＋34k＋3

所以直线AE与x轴相交于定点Q(1,0)．(11分)

(3)当过点Q的直线MN的斜率存在时，

设直线MN的方程为y＝m(x－1)，且M(xM，yM)，N(xN，yN)在椭圆C上． y＝m?x－1???22由?xy，得(4m2＋3)x2－8m2x＋4m2－12＝0，易知Δ>0， ??4＋3＝1

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4m2－128m29m2

所以xM＋xN＝2，xMxN＝2，yMyN＝－2，

4m＋34m＋34m＋35m2＋12533→→

则OM·ON＝xMxN＋yMyN＝－2＝－－. 44?4m2＋3?4m＋31133

因为m2≥0，所以－≤－<0，

44?4m2＋3?5→→

所以OM·ON∈[－4，－)．

4

当过点Q的直线MN的斜率不存在时，其方程为x＝1. 335→→

解得M(1，)，N(1，－)，此时OM·ON＝－，

2245→→

所以OM·ON的取值范围是[－4，－]．(14分)

4

20.(本小题满分14分)

已知函数f(x)＝ax＋lnx(a∈R)．

(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的斜率； (2)求f(x)的单调区间；

(3)设g(x)＝x2－2x＋2，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)

1

解：(1)由已知f ′(x)＝2＋(x>0)，(2分)

xf ′(1)＝2＋1＝3.

故曲线y＝f(x)在x＝1处切线的斜率为3.(4分) 1ax＋1

(2)f ′(x)＝a＋＝(x>0)．(5分)

xx

①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f ′(x)>0恒成立，

所以，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．(6分) 1

②当a<0时，由f ′(x)＝0，得x＝－. a

11

在区间(0，－)上，f ′(x)>0；在区间(－，＋∞)上，f ′(x)<0.

aa

11

所以，函数f(x)的单调递增区间为(0，－)，单调递减区间为(－，＋∞)．(8分)

aa(3)由已知，转化为f(x)max

g(x)max＝2，(10分)

由(2)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意． (或者举出反例：存在f(e3)＝ae3＋3>2，故不符合题意．)(11分) 11

当a<0时，f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减，

aa11

故f(x)的极大值即为最大值，f(－)＝－1＋ln()＝－1－ln(－a)，(13分)

a－a1

所以2>－1－ln(－a)，解得a<－3.(14分)

e 21.(本小题满分14分)

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已知数列{an}中，a1＝1，且点P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上． (1)求数列{an}的通项公式；

1111

(2)若函数f(n)＝＋＋＋?＋(n∈N，且n≥2)，求函数f(n)的最小值；

n＋a1n＋a2n＋a3n＋an1

(3)设bn＝，Sn表示数列{bn}的前n项和．试问：是否存在关于n的整式g(n)，使得

an

S1＋S2＋S3＋?＋Sn－1＝(Sn－1)·g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

解：(1)由点P(an，an＋1)在直线x－y＋1＝0上，即an＋1－an＝1，(2分) 且a1＝1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列， an＝1＋(n－1)·1＝n(n≥2)，a1＝1同样满足，所以an＝n.(4分)

111(2)f(n)＝＋＋?＋；

2nn＋1n＋2

11111

f(n＋1)＝＋＋＋?＋＋；(6分)

n＋2n＋3n＋42n＋12n＋2111111

f(n＋1)－f(n)＝＋－>＋－＝0.

2n＋12n＋2n＋12n＋22n＋2n＋17

所以f(n)是单调递增的，故f(n)的最小值是f(2)＝.(10分)

1211111

(3)bn＝，可得Sn＝1＋＋＋?＋，Sn－Sn－1＝(n≥2)，(12分)

n23nn

nSn－(n－1)Sn－1＝Sn－1＋1，

(n－1)Sn－1－(n－2)Sn－2＝Sn－2＋1， ?

2S2－S1＝S1＋1，

以上各式累加得nSn－S1＝S1＋S2＋S3＋?＋Sn－1＋n－1， S1＋S2＋S3＋?＋Sn－1＝nSn－n＝n(Sn－1)，n≥2. g(n)＝n，(13分)

故存在关于n的整式g(x)＝n，使得对于一切不小于2的自然数n恒成立．(14分)

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