广东省2012届高三下学期高考模拟仿真试题（三）文科数学

广东省2012届高三下学期高考模拟仿真试题 (三)文科数学

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1.已知集合M＝{2，3，4，5}，N＝{3，4，5}，则M∩N＝( C ) A.{2，3，4，5} B.{2，3，4} C.{3，4，5} D.{3，4}

2

2.复数z＝1＋i，则＋z2＝( D )

z

A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 2?1－i?22

解析：＋z2＝＋(1＋i)2＝＋2i＝1＋i.

z21＋i

3.用二分法求方程lgx＝3－x的近似解，可以取的一个区间是( C )

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

解析：设f(x)＝lgx－3＋x，因为f(2)f(3)＝(lg2－1)lg3<0且函数图象在(2,3)上连续．

x??2 x∈A

4.设集合A＝[0,1)，B＝[1,2]，函数f(x)＝?，若x0∈A且f[f(x0)]∈A，

?4－2x x∈B?

则x0的取值范围是( A )

323

A．(log2，1) B．(log32,1) C．(，1) D．[0，]

234

解析：由x0∈A，所以1≤2x0<2，所以1≤f(x0)<2，所以f[f(x0)]＝4－2f(x0)∈A. 333

又1≤f(x0)<2，所以

222 5.阅读如图所示的程序框图，输出的S值为( B )

A．0 B．1＋2 C．1＋

2

D.2－1 2

11kπ

解析：由程序框图可知输出的S为?sin＝1＋2.

4k＝1

6.设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，真命题为( D )

A．若a，b与α所成角相等，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a?α，b?β，a∥b，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b

→→

7.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外一点O，给出下列表达式：OM＝xOA＋→1→

yOB＋OC，其中x，y是实数，若点M与A，B，C四点共面，则x＋y为( C )

3

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1123A. B. C. D. 4334

→→

解析：因为A，B，C三点不共线，故AB，AC可做平面ABC上的向量的一组基底，因为M与A，B，C四点共面，

→→→→→→→→→

故不妨设AM＝αAB＋βAC，故OM－OA＝α(OB－OA)＋β(OC－OA)， →→→→OM＝(1－α－β)OA＋αOB＋βOC，

12→→→

即OA，OB，OC的系数之和为1，故x＋y＋＝1，所以x＋y＝. 33

x2y2

8.已知A，B是椭圆2＋2＝1(a>b>0)长轴的两个顶点，M、N是椭圆上关于x轴对称

ab的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1k2≠0，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为( C )

1232A. B. C. D. 2223

解析：由对称性不妨设M(x0，y0)，x0>0，y0>0，则N(x0，－y0)，A(－a,0)，B(a,0)，

22

y0y0x2y20022ay0

故k1＝，k＝，因为2＋2＝1，所以a－x0＝2 abba＋x02a－x0

y0y02ay02ay02b22bb1

故|k1|＋|k2|＝k1＋k2＝＋＝22＝22＝≥＝1，故＝

a2a＋x0a－x0a－x0ay0ay0a

2b

22

c2a－bb233

所以e＝2＝2＝1－2＝，e＝. aaa42

2

x≥1??

9.设不等式组?x－2y＋3≥0

??y≥x2812

A. B. C．4 D．2 55解析：做出平面区域Ω1

所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线

3x－4y－9＝0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值为( C )

从图中可知|AB|的最小值为点(1,1)到直线3x－4y－9＝0距离的2倍．|AB|min＝|3－4－9|2×2＝4.

3＋421

10.已知f(x＋1)＝f(x－1)，f(x)＝f(－x＋2)，方程f(x)＝0在[0,1]内有且只有一个根x＝，2

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则f(x)＝0在区间[0,2012]内根的个数为( A )

A．2012 B．2011 C．1007 D．1006

解析：由已知f(x＋1)＝f(x－1)，f(x)＝f(－x＋2)可知函数f(x)为偶函数且周期为2，又因1

为方程f(x)＝0在[0,1]内有且只有一个根x＝，故方程在每个区间[k，k＋1]，k∈Z上仅有一

2个根，故共有2012个根．

二、填空题(本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．) (一)必做题(11～13题)

a1a2 11.若数列{an}是正项数列，且a1＋a2＋?＋an＝n2＋3n(n∈N*)，则＋＋?＋

23an＝ 2n2＋6n(n∈N*) . n＋1

解析：当n＝1时，a1＝12＋3×1，所以a1＝16， n≥2时，? ai＝n2＋3n，①

i＝1n－1

? ai＝(n－1)2＋3(n－1)．② i＝1

nnai①－②，得an＝4(n＋1)2，? ＝?4(i＋1)＝2n2＋6n.

i＋1i＝1i＝1

n

－

12.已知数据x1，x2，?，xn的平均数x＝5，方差s2＝4，则数据3x1＋7,3x2＋7，?，3xn＋7的标准差为 6 .

1

解析：s21＝1n1n－2

[(3xi＋7)－? (3xi＋7)]＝?[(3xi＋7)－(3x＋7)]2 ?nnni＝1i＝1i＝1

n

1n－

＝9×? (xi－x)2

ni＝1

2故s1＝9s2，所以s1＝3s＝6.

x

13.设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈[3，＋∞)，f()－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，

m则实数m的取值范围是 (－∞，－22

]∪[，＋∞) . 22

x

解析：f()－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)化简可得：

m(－4m4－m2＋1)x2＋2m2x＋3m2≤0，x∈[3，＋∞)， 设h(x)＝(－4m4－m2＋1)x2＋2m2x＋3m2，

??m

则?4m＋m－1≤3??h?3?≤0

242－4m4－m2＋1<0

，所以m∈(－∞，－

22

]∪[，＋∞)． 22

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(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点A的极坐标为(2,0)，直线l的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＋2＝0，则点A到直线l的距离为 22 .

2＋0＋2

解析：在直角坐标系中，直线l的方程为x＋y＋2＝0点A到直线l的距离为2＝

1＋1222. 15.(几何证明选讲选做题)如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于点B，弦MN过CD的中点P.已知AC＝4，AB＝6，则MP·NP＝ 6.25 .

解析：由圆的切割线定理AB2＝AC·AD，得AD＝9，则CD＝5.又P为CD的中点，则CP＝DP＝2.5.又由相交弦定理知MP·NP＝CP·DP＝2.52＝6.25.

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 16.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝x2＋2xsinθ－1，x∈[－

31，] 22

1

(1)当sinθ＝时，求f(x)的最大值与最小值；

2(2)若f(x)在x∈[－31

，]上是单调函数，且θ∈[0,2π)，求θ的取值范围． 22

115

解：(1)当sinθ＝时，f(x)＝x2＋x－1＝(x＋)2－，(2分)

224所以f(x)在[－

3111

，－]上单调递减，在[－，]上单调递增， 2222

15

所以当x＝－时，f(x)min＝－；(4分)

2411

当x＝时，f(x)max＝－.(6分)

24

(2)f(x)的图象对称轴为x＝－sinθ，要使f(x)在x∈[－－sinθ≤－所以sinθ≥31

或－sinθ≥，(9分) 22

31π2π7π11

或sinθ≤－，因为θ∈[0,2π)，所以θ∈[，]∪[，π]．(12分) 223366

31

，]上是单调函数，则需： 22

17.(本小题满分13分)

有一枚正方体骰子，六个面分别写1、2、3、4、5、6的数字，规定“抛掷该枚骰子得到的数字是抛掷后面向上的那一个数字”．已知b和c是先后抛掷该枚骰子得到的数字，函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)．

(1)若先抛掷骰子得到的数字是3，求再次抛掷骰子时，使函数y＝f(x)有零点的概率； (2)求函数y＝f(x)在区间(－3，＋∞)上是增函数的概率． 解：(1)记“函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零点”为事件A，

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