高三总复习第二十三讲两角和与差的三角函数

高三总复习第二十三讲两角和与差的三角函数 姓名 .

教学目标：掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；能运用这些公式进行三角化

简，求值等有关运算问题．

教学重点：公式的灵活运用． 一、知识回顾 （一）主要知识：

1．两角和与差的三角函数公式： sin??????sin?cos??cos?sin?

cos??????cos?cos??sin?sin? tan??????2.二倍角公式； sin2??2sin?cos?

tan??tan?

1?tan?tan?2tan? 21?tan?2??cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2? tan23．降次公式：cos??4.万能公式：

sin??1?cos2?1?cos2?2，sin??． 22

22?2tan?1?tan22?1?tan2cos??2?1?tan2

?2tan2tan??2?1?tan2?ta?n?(

（二）重要结论：

1．sinα±cosα＝2sin(???)． 2.ta?n?4t?an?)(?1sin?(??)t?an?tan)

cos?co?s3．asinα＋bcosα＝a2?b2sin（α＋φ）＝a2?b2cos（α－φ1），．

4．(sinα±cosα)2＝1±sin2?.

5．sin2??1?cos?. 6．cos2??1?cos? .

22227.

1?tan???tan(??). sin3??3sin??4sin3?, 8.

1tan?4cos3??4cos3??3cos?（二）主要方法：

1．寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式； 2．三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、1的变换、 幂的变换等方面； 3．掌握基本技巧：切割化弦，异名化同名，异角化同角等； 4.应注意的几点:

1熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用. ○

2注意拆角、拼角技巧，如α=（α+β）－β，2α=（α+β）+（α－β）等. ○

3?3注意倍角的相对性，如3α是的倍角. ○

24要时时注意角的范围的讨论. ○注：倍角公式揭示了具有倍数关系两个角的三角函数运算规律，可实现函数式的降幂的变化。 5．三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 （2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 （3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。 （4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之

1

二、基础演练

1.函数y?sin2xcos2x的最小正周期是 ( ) A.2? B.4? C.2.已知sin2A??? D. 422，A∈（0，?），则sinA?cosA? （ ） 3551515A. B．? C． D．?

3333?3?3.已知??(,?),sin??,则tan(??)等于 （ ）

25411A. B.7 C.? D.?7 771?tan154、化简等于 （ ）

1?tan153A.3 B. C.3 D.1

2??1?35、若?,??(0,)，cos(??)?,sin(??)??，则cos(???)的值等于（ ）

222221133A.? B.? C. D. 22226、cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为

7、在?ABC中，(1?cotA)(1?cotB)?2，则log2sinC? ． 8、已知sin??2cos??0，则sin2??cos2?? ． 三、典例分析 题型一 化简求值 例1．求值：

变题：计算sin400(tan100?3)的值 变题：计算sin1630sin2230+sin2530sin3130

题型二 知角求值 例2.已知tan?=

2sin50?sin80(1?3tan10)1?cos10

11 ,tan??,并且?、?均为锐角，求?＋2? 73

22变题：已知3sin??2sin??1，3sin2??2sin2??0，且?、?都是锐角，求?＋2? 的值

2

题型三 知值求值 例2.已知cos??

变题：已知sin(

变题：设cos（α－ 例3.已知

111??，cos(???)??，??(0,) ，????(,?)求?的值． 71422?4?x)=

5?，0

?2）=－

1?2ππ，sin（－β）=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（α+β）. 93222tan??????tan??tan?3?,且cos??????0,求sin???3??

tan??tan?????445?sin2??sin2?tan(??)的值。例4.已知0???,sin??（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求 2254cos??cos2??

题型四 在三角形中的应用

例5．已知A为三角形的內角，求y?cosA?cos(

变题：设?ABC中，tanA?tanB?3?3tanAtanB，sinAcosA?则此三角形是 三角形.

变题：已知在△ABC中，sin(A+B)=

3

222??A)的取值范围． 33， 423,cosB=-,求cosA的值. 34题型五 综合应用

例6．是否存在两个锐角?,?满足（1）??2??2??；（2）tan?tan??2?3同时成32立，若存在，求出?,?的值；若不存在，说明理由．

33xxπx，sinx），b=（cos，－sin），x∈［0，］. 222223（1）求a?b及a?b； （2）若f（x）=a?b－2λa?b最小值是－，求λ的值.

2

四、巩固练习： 变题：已知a=（cos

13的值是 （ ） ?sin10sin801A、1 B、2 C、4 D、

432.已知sin(???)cos??cos(???)sin??，那么cos2?的值为 （ ）

5718718A、 B、 C、? D、?

2525252533.已知sin??,?是第二象限角，且tan(???)?1，则tan?的值为 （ ）

533A、－7 B、7 C、? D、

44?4.已知tan?3,则cos?? （ ）

24443A． B．－ C． D．－

55155???1?2??5.若sin?????，则cos??2??=（ ）

?6?3?3?7117A．? B．? C． D．

93391.

6.已知sin（x －

3ππ1）cos（x －）=－，求cos4x的值.

4447.已知?为第二象限的角，sin??的值．

35，?为第一象限的角，cos??．求tan(2???)513 4