2021版高考数学一轮复习第七章立体几何7.5空间向量的运算及应用教学案苏教版

111111＝－1×1×＋1×1×＋1＋1－1×1×－1×1×＝. 222222

如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，

棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．

→

(1)求BN的模；

→→

(2)求cos〈BA1，CB1〉的值； (3)求证：A1B⊥C1M.

[解](1)如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．

由题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，

→所以|BN| ＝

1－0

2

＋0－1

2

＋1－0

2

＝3.

(2)由题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， →→

所以BA1＝(1，－1,2)，CB1＝(0,1,2)，

BA1·CB1＝3，|BA1|＝6，|CB1|＝5，

所以cos〈BA1，CB1〉＝

→

→

30＝. →→10|BA1||CB1|

→→→→

BA1·CB1

→→

?11?(3)证明：由题意得C1(0,0,2)，M?，，2?， ?22?

A1B＝(－1,1，－2)，

→??C1M＝?，，0?，

22

11

→

??

11→→

所以A1B·C1M＝－＋＋0＝0，

22→→所以A1B⊥C1M， 即A1B⊥C1M.

考点4 利用向量证明平行与垂直 1.利用空间向量证明平行的方法

线线平行 线面平行 面面平行 证明两直线的方向向量共线 ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 ①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题 2.利用空间向量证明垂直的方法 线线垂直 线面垂直 面面垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，

∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角，求证：

(1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD.

[解](1)证明：由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，

CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.

∵PC⊥平面ABCD，

∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，

∴∠PBC＝30°.

∵PC＝2，∴BC＝23，PB＝4，

∴D(0,1,0)，B(23，0,0)，A(23，4,0)，P(0,0,2)，M?→→

∴DP＝(0，－1,2)，DA＝(23，3,0)， →

3??3

，0，?，

2??2

CM＝?

3??3

，0，?.

2??2

设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量， →??DP·n＝0，

由?→??DA·n＝0，

?－y＋2z＝0，

即?

?23x＋3y＝0，

令y＝2，得n＝(－3，2,1)． 33→

∵n·CM＝－3×＋2×0＋1×＝0，

22→

∴n⊥CM.又CM?平面PAD， ∴CM∥平面PAD.

→→

(2)法一：由(1)知BA＝(0,4,0)，PB＝(23，0，－2)， 设平面PAB的一个法向量为m＝(x0，y0，z0)， →??BA·m＝0，由?→??PB·m＝0，

?4y0＝0，

即?

?23x0－2z0＝0，

令x0＝1，得m＝(1,0，3)．

又∵平面PAD的一个法向量n＝(－3，2,1)， ∴m·n＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0， ∴平面PAB⊥平面PAD.

法二：取AP的中点E，连接BE， →

则E(3，2,1)，BE＝(－3，2,1)． ∵PB＝AB，∴BE⊥PA.

→→

又∵BE·DA＝(－3，2,1)·(23，3,0)＝0， →→

∴BE⊥DA.∴BE⊥DA. 又PA∩DA＝A， ∴BE⊥平面PAD. 又∵BE?平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAD.

点M的求解是本例的难点，求解的方式有两种：一是在平面BCP中借助直角三

→→

角形中的边角关系求解，二是借助向量共线定理利用PB＝4PM求解．

如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．

(1)求证：B1E⊥AD1；

(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

→→→

[解] 以A为原点，AB，AD，AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a.

??(1)证明：A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E?，1，0?，B1(a,0,1)， ?2?

→→?a?故AD1＝(0,1,1)，B1E＝?－，1，－1?.

?2?→→

因为B1E·AD1

＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，

2→→因此B1E⊥AD1， 所以B1E⊥AD1.

(2)存在满足要求的点P，

假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)， →

使得DP∥平面B1AE，此时DP＝(0，－1，z0)， 再设平面B1AE的一个法向量为n＝(x，y，z)． →→?a?AB1＝(a,0,1)，AE＝?，1，0?.

aa?2?

→→因为n⊥平面B1AE，所以n⊥AB1，n⊥AE，

ax＋z＝0，??得?ax＋y＝0，??2

a

取x＝1，则y＝－，z＝－a，

2

则平面B1AE的一个法向量n＝?1，－，－a?.

2??→

要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP， 有－az0＝0， 21

解得z0＝. 2

1

所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝. 2

?

a?

a