2021版高考数学一轮复习第七章立体几何7.5空间向量的运算及应用教学案苏教版

第五节 空间向量的运算及应用

[最新考纲] 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．

1．空间向量的有关概念

名称 空间向量 相等向量 相反向量 共线向量(或平行向量) 共面向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．两个向量的数量积

(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

定义 在空间中，具有大小和方向的量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线 互相平行或重合的向量 平行于同一个平面的向量 数量积 共线 垂直 模 夹角 向量表示 坐标表示 a·b a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0(a≠0，b≠0) |a| 〈a，b〉(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 22a21＋a2＋a3 cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3 222222a1＋a2＋a3·b1＋b2＋b35.空间位置关系的向量表示 位置关系 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 向量表示 l1∥l2 l1⊥l2 l∥α l⊥α α∥β α⊥β n1∥n2?n1＝λn2 n1⊥n2?n1·n2＝0 n⊥m?n·m＝0 n∥m?n＝λm n∥m?n＝λm n⊥m?n·m＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m 平面α，β的法向量分别为n，m [常用结论] →→→

1．对空间任一点O，若OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1)，则P，A，B三点共线．

→→→→

2．对空间任一点O，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)，则P，A，B，C四点共面． 3．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，

??n·a＝0，

则求法向量的方程组为?

?n·b＝0.?

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面． ( )

→→→→

(2)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.

( )

( )

(3)设{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量． (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同． ( ) [答案](1)√ (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编

1．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝( )

A．3 B．4 C．5 D．6 C [∵α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，

∴t＝5.]

→→→

2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则→

下列向量中与BM相等的向量是( )

11

A．－a＋b＋c

2211

C．－a－b＋c

22

11

B.a＋b＋c 2211

D.a－b＋c 22

111→→→→1→→

A [BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.]

2222

3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( ) A．(－1,1,1) C.?－

B．(1，－1,1) D.?

33??3

，，－? 33??3

?

?333?，－，－? 333?

C [设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量， →??n·AB＝0，则?

→??n·AC＝0，

??－x＋y＝0，

化简得?

?－x＋z＝0，?

∴x＝y＝z.故选C.]

4．已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝ . 26 [∵a⊥b，∴a·b＝0， 即－8＋6＋x＝0，∴x＝2. ∴b＝(－4,2,2)，

∴|b|＝16＋4＋4＝26.]

考点1 空间向量的线性运算 用基向量表示指定向量的方法

(1)结合已知向量和所求向量观察图形．

(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．

(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．

1.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC→→→→→→

的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，若OG＝xOA＋yOB＋zOC，则x＋y＋z＝ .

5→→→

[连接ON，设OA＝a，OB＝b，OC＝c， 6

1→111→→→1→→

则MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA＝b＋c－a，

22222

→→→1→2→

OG＝OM＋MG＝OA＋MN

2312?111?

＝a＋?b＋c－a? 23?222?111＝a＋b＋c. 633

111→→→→

又OG＝xOA＋yOB＋zOC，所以x＝，y＝，z＝，

6331115

因此x＋y＋z＝＋＋＝.]

6336

→→→

2.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是

AA1，BC，C1D1的中点，

试用a，b，c表示以下各向量： →→→→(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1. [解](1)因为P是C1D1的中点， →→→→→1→所以AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1

2