（名师导学）2020版高考数学总复习同步测试卷（十八）圆锥曲线的综合问题理（含解析）新人教A版

同步测试卷

理科数学(十八) 【p319】 (圆锥曲线的综合问题) 时间：60分钟 总分：100分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．若直线x－y＝2与抛物线y＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是( )

2

A．(4，2) B．(8，4) C．(2，1) D．(2，4)

??y＝4x，

【解析】把直线与抛物线的方程联立?

?y＝x－2，?

2

消去y得到x－8x＋4＝0，

利用根与系数的关系求出：x1＋x2＝8， 则y1＋y2＝x1＋x2－4＝4， 中点坐标为?【答案】A

2．经过椭圆x＋2y＝2的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于M，N两点，设→→

O为坐标原点，则OM·ON等于( )

2

2

2

?x1＋x2，y1＋y2?＝(4，2)．

2??2?

A．－3B．±C．－D．－

x2

【解析】椭圆方程为＋y＝1，a＝2，b＝1，c＝1，取一个焦点F(1，0)，则直线方

2

2

131312

?41?2

程为y＝x－1，代入椭圆方程得3x－4x＝0，得M(0，－1)，N?，?，

?33?

1→→

所以OM·ON＝－. 3【答案】C

y

3．已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C在第一象限上一点，且PF与x轴垂

8

2

2

直，点A的坐标是(1，8)，则△PAF的面积为( )

A．6B．8C．12D．16

【解析】由题意可得c＝1＋8＝9，则右焦点坐标为F(3，0)，

由PF与x轴垂直，知点P的横坐标为3，代入双曲线方程知点P的纵坐标为8，即|PF|

2

＝8，

所以点A到直线PF的距离d＝3－1＝2，

11

据此可得△PAF的面积为：S＝×|PF|×d＝×8×2＝8.

22【答案】B

4．已知半径为1的动圆与定圆(x－5)＋(y＋7)＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )

2

2

A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25

B．(x－5)2＋(y＋7)2＝3或(x－5)2＋(y＋7)2＝15 C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9

D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9

【解析】由定圆A：(x－5)＋(y＋7)＝16，得到圆心A的坐标为(5，－7)，半径R＝4，且动圆B的半径r＝1，

当圆B与圆A内切时，圆心B的轨迹是以A为圆心，半径等于R－r＝4－1＝3的圆， 则圆B的方程为：(x－5)＋(y＋7)＝9；

当圆B与圆A外切时，圆心B的轨迹是以A为圆心，半径等于R＋r＝4＋1＝5的圆， 则圆B的方程为：(x－5)＋(y＋7)＝25.

综上，动圆圆心的轨迹方程为：(x－5)＋(y＋7)＝25或(x－5)＋(y＋7)＝9. 【答案】D

xy

5．已知双曲线－＝1上有不共线的三点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，

84111

F，若OD，OE，OF(O为坐标原点)的斜率之和为－2，则＋＋＝( )

kABkBCkAC

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

A．－4B．－23C．4D．6

x1y1

【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，－＝1，

84x2y2

－＝1，两式相减， 84

得

2

2

2

2

(x1＋x2)(x1－x2)(y1＋y2)(y1－y2)

8

＝4

y1－y2x011，即＝，即＝2kOD，同理，得＝2kOE，

x1－x22y0kABkBC

1111

＝2kOF，所以＋＋＝2(kOD＋kOE＋kOF)＝－4. kACkABkBCkAC

【答案】A

xy

6．已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)与过原点的直线交于A，B两点，右焦点为F，∠AFB

ab

2

2

＝120°，若△AFB的面积为43，则椭圆E的焦距的取值范围是( )

A．[2，＋∞) B．[4，＋∞) C．[23，＋∞) D．[43，＋∞)

【解析】取椭圆的左焦点F1，连接AF1，BF1， 则AB与FF1互相平分， ∴四边形AFBF1是平行四边形， ∴AF1＝BF，

∵AF＋AF1＝2a，∴AF＋BF＝2a，

13

∵S△ABF＝AF·BF·sin120°＝AF·BF＝43，

24∴AF·BF＝16，

∵2a＝AF＋BF≥2AF·BF＝8，∴a≥4， 1

又S△ABF＝×c×2|yA|＝c·|yA|＝43，

243∴c＝，

|yA|

∴当|yA|＝b＝a－c时，c取得最小值，此时b＝3c， ∴a＝3c＋c＝4c，∴2c＝a， ∴2c≥4.

2

2

2

222

【答案】B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) 7．动圆M过点(3，2)且与直线y＝1相切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________． 【解析】设动圆圆心M(x，y)，动圆M过点(3，2)且与直线y＝1相切， 可得（x－3）＋（y－2）＝|1－y|， 化简可得x－6x－2y＋12＝0，

则动圆圆心M的轨迹方程为x－6x－2y＋12＝0. 【答案】x－6x－2y＋12＝0

228．设抛物线C：y＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，

3

2

2

2

2

2

→→

则FM·FN＝________．

22

【解析】抛物线C：y＝4x的焦点为F(1，0)，过点(－2，0)且斜率为的直线为：3y＝

32x＋4，

联立直线与抛物线C：y＝4x，消去x可得：y－6y＋8＝0， 解得y1＝2，y2＝4，不妨M(1，2)，N(4，4)， →→

则FM＝(0，2)，FN＝(3，4)， →→

所以FM·FN＝(0，2)·(3，4)＝8. 【答案】8

xy

9．已知动点P在椭圆C：＋＝1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|＝1，且

2516MP⊥MF，则线段|PM|的最小值为________．

【解析】由题意可知，动点M是在以F(3，0)为圆心，1为半径的圆上运动，且|PM|为圆的一条切线，

根据切线长定理，当|PF|最小时，切线长|PM|取得最小值 易知当P在右顶点时，PF取得最小值，此时|PF|＝5－3＝2， 由切线长定理可知|PM|＝2－1＝3. 【答案】3

10．已知直线l：y＝kx＋t与圆C1：x＋(y＋1)＝2相交于A，B两点，且三角形C1AB的面积为1，若直线l与抛物线C2：x＝2y相交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是________．

12

【解析】根据题意得到三角形C1AB的面积为rsinθ＝1，解得sinθ＝1，此时三角形

2C1AB为等腰直角三角形，设圆心到直线的距离为d，则d＝1，根据点到直线的距离公式得到|1＋t|1＋k

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

＝1?1＋k＝(1＋t)?k＝t＋2t，

2

2

2222

直线l与抛物线C2：x＝2y相交于不同的两点M，N，联立直线和抛物线得到x－2kx－2t＝0，

只需要此方程有两个不等根即可，Δ＝4k＋8t＝4t＋16t>0， 解得t的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 【答案】(－∞，－4)∪(0，＋∞)

2

2