(新高考)高考数学二轮复习专题强化训练(十八)立体几何理

（新高考）高考数学二轮复习专题强化训练（十八）立体几何理

专题强化训练(十八) 立体几何

一、选择题

1．[2019·石家庄一模]已知三棱锥P－ABC中，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，

PB＝4，∠PBC＝60°；

(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；

(2)设F为棱PA的中点，求二面角P－BC－F的余弦值．

解：(1)在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4，由余弦定理可得PC＝23， ∴PC＋BC＝PB， ∴PC⊥BC，

又PC⊥AB，AB∩BC＝B，

∴PC⊥平面ABC，∵PC?平面PAC， ∴平面PAC⊥平面ABC.

(2)解法一：在平面ABC中，过点C作CM⊥CA，以CA，CM，CP所在的直线分别为x，y，

2

2

2

z轴建立空间直角坐标系C－xyz.

则C(0,0,0)，P(0,0,23)，A(2,0,0)，B(1，3，0)，F(1,0，3)． 设平面PBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)， →??CB·m＝x1＋3y1＝0，则?→??CP·m＝23z1＝0，

取y1＝－1，则x1＝3，z1＝0，

即m＝(3，－1,0)为平面PBC的一个法向量． 设平面BCF的法向量为n＝(x2，y2，z2)， →??CB·n＝x2＋3y2＝0，则?→??CF·n＝x2＋3z2＝0，

取x2＝3，则y2＝－1，z2＝－1，即n＝(3，－1，－1)为平面BCF的一个法向量， |m·n||3＋1＋0|25|cos〈m，n〉|＝＝＝，

|m||n|2×3＋?－1?2＋?－1?25

由题图可知二面角P－BC－F为锐角， 25

∴二面角P－BC－F的余弦值为.

5

解法二：由(1)可知PC⊥平面ABC，又PC?平面PBC， ∴平面PBC⊥平面ABC，

∴二面角P－BC－F的余弦值就是二面角A－BC－F的正弦值， 作FM⊥AC于点M，则FM⊥平面ABC， 作MN⊥BC于点N，连接FN，则FN⊥BC， ∴∠FNM为二面角A－BC－F的平面角． ∵点F为PA的中点，∴点M为AC的中点， 13

在Rt△FMN中，FM＝PC＝3，MN＝，

22∴FN＝

15FM25

，∴sin∠FNM＝＝， 2FN5

25

∴二面角P－BC－F的余弦值为.

5

2．[2019·郑州质量预测二]如图，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，平面ABEF⊥平面ABC,2AF＝AB＝BE，∠FAB＝60°，AF∥BE.

(1)求证：BC⊥BF；

(2)求二面角F－CE－B的正弦值．

解：(1)等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，即BC⊥AB，

又平面ABC⊥平面ABEF，平面ABC∩平面ABEF＝AB，BC?平面ABC， ∴BC⊥平面ABEF，又BF?平面ABEF， ∴BC⊥BF.

(2)由(1)知BC⊥平面ABEF，故建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，

3??3→

设AF＝1，则由已知可得B(0,0,0)，C(0,2,0)，F?，0，?，E(－1,0，3)，EC＝(1,2，

2??2－3)，

→

EF＝?，0，－?5

?23?→

?，BC＝(0,2,0)， 2?

设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，则有 →??n·EC＝0，?

→??n·EF＝0

?x＋2y－3z＝0，

???53

x－z＝0，?2?2

令x＝3，则z＝5，y＝23，即n＝(3，

23，5)为平面CEF的一个法向量．

设平面BCE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则有 →??m·EC＝0，

?

→??m·BC＝0

?x1＋2y1－3z1＝0，

??

?2y1＝0，

∴y1＝0，x1＝3z1，令x1＝3，则m＝(3，0,1)为平面BCE的一个法向量．

m·n3＋510

设二面角F－CE－B的平面角为θ，则|cosθ|＝|＝＝，

|m||n|2×2105

∴sinθ＝

15

， 5

15. 5

∴二面角F－CE－B的正弦值为3．[2019·太原一模]如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，

AD⊥CD，四边形CDEF是菱形，∠DCF＝60°，CD＝2AD＝2AB，AE＝5AD.

(1)证明：CE⊥AF；

(2)已知点P在线段BC上，且CP＝λCB，若二面角A－DF－P的大小为60°，求实数

λ的值．

解：(1)∵四边形CDEF是菱形， ∴DE＝CD＝2AD，CE⊥DF，

∵AE＝5AD，∴AE＝5AD＝AD＋DE， ∴AD⊥DE，

∵AD⊥CD，∴AD⊥平面CDEF，

2

2

2

2

∴AD⊥CE，DF∩AD＝D.

∴CE⊥平面ADF，AF?平面ADF，∴CE⊥AF.

→→→

(2)由(1)知以D为坐标原点，DA的方向为x轴的正方向，|DA|为单位长度，DC的方向为

y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，

由题设可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，E(0，－1，3)，F(0,1，3)， →→→

∴DF＝(0,1，3)，CP＝λCB＝(λ，－λ，0)， →→→

∴DP＝DC＋CP＝(λ，2－λ，0)， 设m＝(x，y，z)是平面DFP的法向量，则 →??m·DF＝0?

→??m·DP＝0

?y＋3z＝0

，∴?

?λx＋?2－λ?y＝0

，

??y＝3

令z＝－1，则??1－2?x＝3?λ?????

?

?

?

?

，

2????∴m＝?3?1－?，3，－1?为平面DFP的一个法向量．

λ→

由(1)可知CE＝(0，－3，3)是平面ADF的一个法向量， ∵二面角A－DF－P的大小为60°， ∴cos60°＝|＝→

|m|·|CE|23× m·CE→

|－43|2?2?3?1－?＋4λ12＝，∴λ＝. 23

??

4．[2019·洛阳统考]如图1，平面多边形PABCD中，PA＝PD，AD＝2DC＝2BC＝4，AD∥

BC，AP⊥PD，AD⊥DC，E为PD的中点，现将△APD沿AD折起，如图2，使PC＝22.

图1