高等数学中国人民大学答案

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出版社高数(第四版)习题1-3答案 观察一般项

xn如下的数列?xn?的变化趋势，写出它们的极限：

； （2）xn n

（1）xn（5）xn ? 13n ???1? n 1n

； （3）xn ?2? 1n3

； （4）xn ? n?2 ； n?2 ???1?n

知识点：数列定义。

思路：写出前几项，观察规律。 解：（ 1

31,9127,1 ???0； 81

1111,?,,?,??0； 2345 1111

,2?,2?,???2； （3）2?1,2?,2? 8276412544441

?1?,1?,1?,?1?,??1（4）xn?1? n?2345100

（2）?1,（5）?1, ；

2?3,4,??? 。

★★2．利用数列极限定义证明： （1） lim 11?3n3n?2

1）, k?0lim?limsinn?0。 （为正常数）； （2）； （3）2n??nkn??4n?1n??4n?2 知识点：极限定义。

思路：按定义即可。 证明：（1） lim 11

?0：对任意给定的正数，要使＊?0???kn??nkn ，即? ?1?

??n，只要取 ??? 1 ?0

n??nk 1k 1

??k11??

n?????，则对任意给定的??0，当n?n时，就有k?0?? ?????n?? ，即lim 1

??k1??

（注，只要保证n的取值能够让n以后的所有项的值满足＊式即可，因此n可取大于或等于???? ???????

的整数）； （2）lim 1?3n33n?137

?：对任意给定的正数?，要使＊????，只要 n??4n?144n?144(4n?1) ，∴取n n?

7?4?16?

3n?13?7?4??

，则对任意给定的??0，当n?n时，就有??????4n?14?16?? ， ∴lim 1?3n3 ?

n??4n?14 n?2

sinn?0 （3） lim2 n??n?2

证明：由于 n?2n?21

sinn?0??n2?2n2?2n?2 ，

因此对任意给定的正数?，要使 （计算时为方便不妨设n取n n?2

sinn?0??2 n?2 ，只要 11

??，即n??2 ?n?2

?2，因为前面的有限项对极限无影响） ，

n?2?1?

???2?，则对任意给定的??0，当n?n时，就有2sinn?0???n?2??n?2 sinn?0 n??n2?2 ∴ lim

★ 3．设数列

1n?cos。问limxn??求出n n??n2

限之差的绝对值小于正数?。当??0?001时，求出n。 ?xn?的一般项xn ?，使得当n?n 时，xn与其极

知识点：数列极限定义 思路：按极限定义即可 解： 观察可得： lim

1n?cos?0，证明该结果如下： n??n2

，因此对任意给定的正数?，要使 由于 1n?1

cos?0?n2n1 ，取n 1n?1

cos?0??，只要??，即n2n ，则对任意给定的? n? ? ?1?

???（n??? 取大于或等于 ?1?

???的整数都可以）?? ?0，当n?n 时，就有 当? 1n?1n?

?0。 cos?0?? ，∴limcos

n??n2n2?0?001时，可取n?1000。 ★ 4．设an n??1?

??1??sin 2?n?

，证明数列

?an?没有极限。

知识点：判定数列极限不存在的方法

思路：若某数列极限为a，则其任意子列的极限都为a，因此，若某两个子列极限不同，则说明原数列 极限不存在。 证明：令n?2k, 1?2k??

k?n，则得子列a2k??1??sin 2?2k?

，当n??时，k??； 则lim 1?2k??

?0； 1??sin?k??2?2k?

取另一个子列n?4k?1,k?n， 得a4k?1