2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.1-1.5.2 汽车行驶的路程优化练习 新人教

人人人他他他有意义1.5.1-1.5.2 汽车行驶的路程

[课时作业] [A组 基础巩固]

1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为( ) 1

A.

nn2B. n3C.

D.

1 2n3－12

解析：把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为＝. nn答案：B

2．在求由x＝a，x＝b(a

①n个小曲边梯形的面积和等于S； ②n个小曲边梯形的面积和小于S； ③n个小曲边梯形的面积和大于S；

④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定 A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

解析：n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.∴①正确，②③④错误，故应选A.

答案：A

3．把区间[a，b](a

i－1i，] nni－1i(b－a)，(b－a)] nni－1i，a＋] nni－1i(b－a)，a＋(b－a)] nnb－a，第inC．[a＋D．[a＋

解析：区间[a，b](a

i－1i·(b－a)，a＋(b－a)](i＝1,2，…，n)． nn 1

人人人他他他有意义答案：D

4．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )

1A. 9C.1 27

B.D.1 251 30

3

112213

解析：将区间[0,1]三等分为[0，]，[，]，[，1]，各小矩形的面积和为S1＝0·

3333313123191

＋()·＋()·＝＝. 3333819

答案：A

15．在等分区间的情况下，f(x)＝2(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积的和式

1＋x的极限形式正确的是( )

nA.lim∑[n→∞i＝1i1＋

1

2·]

2

nn1

B.lim∑[n→∞i＝12i1＋

n2·]

2

nn11

C.lim∑ (2·) n→∞i＝11＋inn1

D.lim∑[n→∞i＝1i1＋

n·n]

2

ni－n2i，](i2

解析：将区间n等分后，每个小区间的长度为Δx＝，第i个小区间为[nn＝1,2，…，n)，则由求曲边梯形的面积的步骤可得，所求曲边梯形面积的和式的极限形式

n应为lim∑[n→∞i＝1

1＋

1

2i2·]．

2

nn答案：B

n6.i∑ ＝________. ＝1

ini11n解析：∑ ＝(1＋2＋3＋…＋n)＝·i＝1

nn＋

2

nn n＝n＋1

2

.

答案：

n＋1

2

7．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.

2

?2??24??46??68??8?解析：将区间[0,2]5等分为?0，?，?，?，?，?，?，?，?，2?，以小区间左端

?5??55??55??55??5?

点对应的函数值为高，得S1＝

2

人人人他他他有意义?1＋?2?2＋1＋?4?2＋1＋?6?2＋1＋?8?2＋1?×2＝3.92，同理S＝ ??5??5??5??5??52????????????2?2＋1＋?4?2＋1＋?6?2＋1＋?8?2＋1＋22＋1?×2＝5.52. ??5??5??5??5??5??????????

答案：3.92 5.52

8．汽车以v＝(3t＋2) m/s做变速直线运动时，在第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程是________．

解析：将[1,2]n等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则 1i－1i－1Δt＝，v(ξi)＝v(1＋)＝3(1＋)＋2

nnn3

＝(i－1)＋5.

n31

∴sn＝∑[(i－1)＋5]· i＝1

nnn?3?1＝?[0＋1＋2＋…＋n－1]＋5n?· ?n?

n3n＝2·

n－1

2

n31

＋5＝(1－)＋5.

2n3

∴s＝limsn＝＋5＝6.5. n→∞2答案：6.5 m

9.如图所示，求直线x＝0，x＝3，y＝0与二次函数f(x)＝－x＋2x＋3所围成的曲边梯形的面积．

解析：如图，

2

(1)分割

将区间[0,3]n等分，则每个小区间[i－

n3i3，](i＝1,2，…，n)的长度为Δx＝.nn分别过各分点作x轴的垂线，把原曲边梯形分成n个小曲边梯形．

(2)近似代替

以每个小区间的左端点函数值为高作n个小矩形．

则当n很大时，用n个小矩形的面积之和Sn近似代替曲边梯形的面积S. (3)求和

3

人人人他他他有意义nSn＝∑f(i＝1

n3

i－1

)Δx ni－1n2

2

9

＝∑[－i＝1

3

＋2×i－13

＋3]× nnn2722182

＝－3[1＋2＋…＋(n－1)]＋2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋9

n27118nn－＝－3×(n－1)n(2n－1)＋2×n6n2111

＝－9(1－)(1－)＋9(1－)＋9.

n2nn＋9

111

∴S≈Sn＝－9(1－)(1－)＋9(1－)＋9.

n2nn(4)取极限

S＝limSn n→∞

111

＝lim[－9(1－)(1－)＋9(1－)＋9] n→∞n2nn＝－9×(1－0)×(1－0)＋9×(1－0)＋9＝9， 即所求曲边梯形的面积为S＝9.

10．火箭发射后t s的速度为v(t)(单位：m/s)，假定0≤t≤10，对函数v(t)，按v(t1)Δt＋v(t2)Δt＋…＋v(tn)Δt所作的和具有怎样的实际意义．

解析：将区间[0,10]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δt，在每个小区间上取一点，依次为：t1，t2，t3，…，ti，…，tn，虽然火箭的速度不是常数，但在一个小区间内其变化很小，所以用v(ti)代替第i个区间上的速度，这样v(ti)Δt≈火箭在第i个时间段内运行的路程．

从而Sn＝v(t1)Δt＋…＋v(ti)Δt＋…＋v(tn)Δt≈S(火箭在10 s内运行的路程)， 这就是函数v(t)在时间区间[0,10]上按v(t1)Δt＋v(t2)·Δt＋…＋v(tn)Δt所作的和的实际背景．

当分割无限变细(Δt无限趋近于0)时，Sn就无限趋近于火箭在10 s内运行的总路程．

[B组 能力提升]

1.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )

A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．t1时刻后，甲车在乙车后面 C．在t0时刻，两车的位置相同 D．t0时刻后，乙车在甲车前面

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