数学物理方程复习(1)

例三：化简2aUxx+2aUxy+aUyy+2bUx+2cUy+U=0,并判断类型。a≠0

（二）线性偏微分方程的基本性质 1.线性迭加原理

设L为线性偏微分算子，即LU=f

若u1 u2 u3 ……un 是LU=fi 的解，则u=∑CiUi是LU=∑Cifi的解。 若u1是LU=0的通解，u2是LU=f的特解，则u= u1+u2是LU=f的一般解。

2.齐次化原理（冲量原理）

原理1：设W是方程Wtt= a2 Wxx W|t=η=0 W t|t=η=f（x,t;η）的解，则u=∫0tW（x,t;η）dη是方程Utt= a2 Uxx+ f（x,t） U|t=0=0 U t |t=0 =0的解。

原理2：W是方程Wt= a2 Wxx W|t=η=0 W t|t=η=f（x,t;η）的解，则u=∫0tW（x,t;η）dη是Ut= a2 Uxx+ f（x,t） U|t=0=0 的解。

3.特征值函数δ

δ（x-x0）={0 x≠0∫δ（x-x0）dx=1

∞ x=x0

性质：Φ（x）是连续函数，则∫δ（x-x0）Φ（x）=Φ（x0）

三．分离变量法

（一） 齐次的泛定方程和齐次的边界条件

Utt = a2Uxx ; 00 U(0,t)=U(l,t)=0; U(x,0)= Φ（x）; Ut(x,0)=Ψ（x）。

第二类齐次边界条件：Ux(0,t)=Ux(l,t)=0;

第一类与第二类的齐次边界条件：U(0,t)=Ux(l,t)=0或Ux(0,t)=U(l,t)=0。

（二） 非齐次的泛函方程的齐次边界条件

Utt = a2Uxx +f(x,t); 00 U(0,t)=U(l,t)=0; U(x,0)= Φ（x）; Ut(x,0)=Ψ（x）。

令U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且W满足

Wtt = a2Wxx ; 00 W(0,t)=W(l,t)=0; W(x,0)= Φ（x）;

Wt (x,0)=Ψ（x）.则V满足 Vtt = a2Vxx +f(x,t); 00

V(0,t)=V(l,t)=0;V(x,0)= 0;Vt (x,0)=0.

解W用分离变量法，解V用冲量原理。

（三） 齐次的泛定方程，非齐次边界条件

Utt = a2Uxx ; 00 U(0,t)=U1 (t); U(l,t)= U2 (t); U(x,0)= Φ（x）; Ut (x,0)=Ψ（x）.

设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得：V(0,t)= V(l,t)=0,则 W(0,t)= U1 (t),W(l,t)= U2 (t),设W(x,t)=Ax+B,则 W(0,t)=B= U1 (t), W(l,t)=Al+B= U2 (t),则（省略） （四） 非齐次的泛定方程，非齐次边界条件

Utt = a2Uxx +f(x,t); 00 U(0,t)=U1 (t); U(l,t)= U2 (t); U(x,0)= Φ（x）; Ut (x,0)=Ψ（x）.

第一步：把非齐次边界条件化成齐次的边界条件 第二步：同(三)

例一：Utt = a2Uxx ； U(0,t)=0=U(l,t);

U(x,0)=3sinx; Ut (x,0)=0. 00

例二：在矩形区域内0

Uxx +Uyy =0; 00. U(0,x)= Bsin(πx/a); U(b,x)= 0; U(y,0)=Ay(b-y); Ut(y,a)=0。

解：设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)使得Vxx+ Vyy=0, V(0,y)= V(a,y)=0, V(x,0)= Bsin(πx/a),V(x,b)=0;

同时Wxx+ Wyy=0, W(0,y)= Ay(b-y), W(a,y)=0, W(0,x)= W(b,x)=0. 答案省略~

例三：求解方程

Utt = a2Uxx +bshx; U(0,t)= U(l,t)=0; U(0,x)= U t(0,x)=0。 例四：长为l,两端固定的弦线在单位长度的横向力

f(x,t)=g(x)sinwt的作用下做摆动，已知弦的初始位移和速度分别为Φ(x),Ψ(x)求其振动规律。 解：设位移分布函数为U(x,t)且满足： Utt = a2Uxx +g(x)sinwt; 00 U(0,t)= U(l,t)=0; U(0,x)= Φ(x); U t(0,x)= Ψ(x).

解方程，设U(x,t)=W(x,t)+V(x,t)且 Vtt = a2Vxx ;V(0,t)= V(l,t)=0; V(0,x)= Φ(x);V t(0,x)= Ψ(x).

W满足：Wtt = a2Wxx +g(x)sinwt; 00