2019[高考]数学一轮复习 第11章 计数原理和概率 第10课时 正态分布练习 理

第10课时 正态分布

1．下列函数是正态密度函数的是(μ、σ(σ＞0)都是实数)( ) A．f(x)＝

12πσ

（x－μ）

2e2σ

2

2

2πx

B．f(x)＝e－ 2π2x1

D．f(x)＝－e2

2π

2

1x－σ

C．f(x)＝e－

42 2π答案 B

解析 A中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C中的函数无对称轴，D中的函数图像在x轴下方，所以选B.

2．(2018·甘肃河西五市联考)设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ>2)＝p，即P(－2<ξ<0)＝( ) 1

A.＋p 21

C.－p 2答案 C

1－2p1

解析 由对称性知P(ξ≤－2)＝p，所以P(－2<ξ<0)＝＝－p.

22

3．(2017·广东佛山一模)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤ξ≤4)＝0.682 6，则P(ξ>4)＝( ) A．0.158 8 C．0.158 6 答案 B

解析 由正态曲线性质知，其图像关于直线x＝3对称，

1－P（2≤ξ≤4）1

∴P(ξ>4)＝＝0.5－×0.682 6＝0.158 7，故选B.

22

4．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( ) A．0.954 C．0.488 答案 A

解析 P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝0.954.

5．(2017·南昌调研)某单位1 000名青年职员的体重x(单位：kg)服从正态分布N(μ，2)，且正态分布的密度曲线如图所示，若体重在58.5～62.5 kg属于正常，则这1 000名青年职员中体重属于正常的人数约是( )

2

2

B．1－p D．1－2p

B．0.158 7 D．0.158 5

B．0.977 D．0.477

A．683 C．341 答案 A

B．841 D．667

1

解析 ∵P(58.50)，若ξ在(80，120)内的概率为0.8，则落在(0，80)内的概率为( ) A．0.05 C．0.15 答案 B

解析 ∵ξ服从正态分布N(100，σ)，∴曲线的对称轴是直线μ＝100，∵ξ在(80，120)内取值的概率为0.8，ξ在(0，100)内取值的概率为0.5，

∴ξ在(0，80)内取值的概率为0.5－0.4＝0.1.故选B.

7．(2017·河南安阳专项训练)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为( ) A．0.3% C．1.5% 答案 D

解析 依题意，得μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140.而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92，140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在1－99.70分以上的考生所占的百分比为＝0.15%.故选D.

2

8．(2018·云南大理统测)2016年1月某高三年级1 600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N(100，σ)(试卷满分150分)．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数3

的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为( ) 4A．80 C．120 答案 D

31

解析 正态曲线的对称轴为X＝100，根据其对称性可知，成绩不低于120分的学生人数约为1 600×(1－)×42＝200.

9．如果随机变量X～N(μ，σ)，且E(X)＝3，D(X)＝1，则P(0

0.997 4－0.954 42

解析 X～N(3，1)，因为0

2

10．(2017·皖南十校联考)在某市2017年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( ) A．1 500

B．1 700 B．0.003 D．0.021 5

2

2

2

2

B．0.1 D．0.2

B．0.23% D．0.15%

B．100 D．200

2

C．4 500 答案 A

D．8 000

11

解析 因为学生的数学成绩X～N(98，100)，所以P(X≥108)＝[1－P(88

221

＝(1－0.682 6)＝0.158 7，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.158 7×9 450≈1 500名，故选A. 211.如图所示，随机变量ξ服从正态分布N(1，σ)，已知P(ξ<0)＝0.3，则P(ξ<2)＝________． 答案 0.7

解析 由题意可知，正态分布的图像关于直线x＝1对称，所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)，又P(0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)＝0.2，所以P(ξ<2)＝0.7.

12．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100，σ)，1

统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的，则此次考试成绩不低于120分的学生

3约有________人． 答案 100

解析 ∵数学考试成绩ξ～N(100，σ)，作出正态分布图像，可以看出，图像关于直线x＝100对称．显然1

P(80≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤120)＝；∴P(ξ≤80)＝P(ξ≥120)．又∵P(ξ≤80)＋P(ξ≥120)＝1－

311111

P(80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120)＝，∴P(ξ≥120)＝×＝，∴成绩不低于120分的学生约为600×＝

32366100(人)．

13．(2017·河北唐山二模)商场经营的某种袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10，0.1)，任取一袋大米，质量不足9.8 kg的概率为________．(精确到0.000 1) 注：P(μ－σ

112

解析 因为袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10，0.1)，所以P(ξ<9.8)＝[1－P(9.8<ξ<10.2)]＝221

[1－P(10－2×0.1<ξ<10＋2×0.1)]＝(1－0.954 4)＝0.022 8.

2

－（x－1）1

14．已知随机变量X服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数f(x)＝e(x∈R)的图像，若2

2π

2

2

2

2

2

?f（x）dx＝1，则P(X<0)＝________． ?0

3

1

1答案 6

3

－（x－1）1

解析 因为正态分布密度曲线为函数f(x)＝e(x∈R)的图像，所以总体的期望μ＝1，标准差2

2π111

σ＝1，故函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．又?1f(x)dx＝＝P(0

326?

0

2

15．(2018·江西南昌一模)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ)(满分为100分)，已知P(X<75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．

(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80，85)，[85，95)，[95，100]内各有1位同学的概率； (2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．

答案 (1)0.024 (2)E(ξ)＝1.2

1

解析 (1)由题知，P(80≤X<85)＝－P(X<75)＝0.2，

2P(85≤X<95)＝0.3－0.1＝0.2，

所以所求概率P＝A3×0.2×0.2×0.1＝0.024. (2)P(75≤X≤85) ＝1－2P(X<75)＝0.4， 所以ξ服从二项分布B(3，0.4)， P(ξ＝0)＝0.6＝0.216， P(ξ＝1)＝3×0.4×0.6＝0.432， P(ξ＝2)＝3×0.4×0.6＝0.288， P(ξ＝3)＝0.4＝0.064. 所以随机变量ξ的分布列为

ξ P E(ξ)＝3×0.4＝1.2.

16．(2018·广东三校联考)某市在2017年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10 000名学生的成绩服从正态分布N(120，25)．现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95)，第二组[95，105)，…，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．

0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064 3

2

2

3

3

2

(1)试估计该校数学成绩的平均分数；

(2)若从这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．

4