高中数学第一章计数原理1分类加法计数原理和分步乘法计数原理学案北师大选修2-3

答案精析

问题导学 知识点一

思考1 两类，即乘飞机、坐火车．

思考2 第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法． 思考3 共有7＋6＝13(种)不同的方法． 梳理 m1＋m2＋…＋mn 知识点二 思考1 2个．

思考2 7×6＝42(种)． 梳理 m1×m2×…×mn 题型探究

例1 解 方法一 一个两位数由十位数字和个位数字组成，可先确定个位数字后再考虑十位数字有几种可能．

一个两位数的个位数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，把这样的两位数分成10类． 第一类：当个位数字为0时，十位数字可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，有9个满足条件的两位数．

第二类：当个位数字为1时，十位数字可以是2,3,4,5,6,7,8,9，有8个满足条件的两位数． 第三类：当个位数字为2时，十位数字可以是3,4,5,6,7,8,9，有7个满足条件的两位数． 以此类推，当个位数字分别是3,4,5,6,7,8,9时，满足条件的两位数的个数分别为6,5,4,3,2,1,0.

由分类加法计数原理，满足条件的两位数有 9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＋0＝45(个)． 故个位数字小于十位数字的两位数共有45个．

方法二 考虑两位数“ab”与“ba”中，个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想解决．

在总共90个两位数中，个位数字等于十位数字的两位数为11,22,33，…99，共9个；另有10,20,30，…，90，共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置；其余90－18＝72个两位数，按“ab”与“ba”进行一一对应，则每一个“个位数字小于十位数字的两位数”就与另一个“十位数字小于个位数字的两位数”对应，故其中“个位数字小于十位数字的两位数”有72÷2＝36(个)．

故满足条件的两位数的个数为9＋36＝45，即个位数字小于十位数字的两位数共有45个． 跟踪训练1 A

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例2 解 (1)要完成的是“4名同学每人从3个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4名同学都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81(种)报名方法．

(2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军是4名同学中的某一人，有4种可能的情况，于是共有4×4×4＝64(种)可能的情况． 跟踪训练2 100

例3 解 方法一 分为两类：

第一类：当花坛A，C中种的花相同时有4×3×3＝36(种)； 第二类：当花坛A，C中种的花不同时有4×3×2×2＝48(种)． 共有36＋48＝84(种)． 方法二 分为四步： 第一步：考虑A，有4种； 第二步：考虑B，有3种；

第三步：考虑C，有两类：一是A与C相同，C的选法有1种，这样第四步D的选法有3种；二是A与C不同，C的选法有2种，此时第四步D的选法也有2种． 共有4×3×(1×3＋2×2)＝84(种)．

跟踪训练3 解 由题意，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．

当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1,2,3.

若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若

C染5，则D可染3或4，有2种染法．

由分类加法计数原理知，当S，A，B染法确定时，C，D有7种染法． 由分步乘法计数原理得，不同的染色方法有60×7＝420(种)． 当堂训练

1．B 2.B 3.A 4.108 5.6

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