高中数学第一章计数原理1分类加法计数原理和分步乘法计数原理学案北师大选修2-3

1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理

学习目标 1.理解分类加法计数原理与分类乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．

知识点一 分类加法计数原理(加法原理)

第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车．

思考1 该志愿者从上海到天津的方案可分几类？

思考2 这几类方案中各有几种方法？

思考3 该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？

梳理 分类加法计数原理(加法原理)

完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝__________种方法． 知识点二 分步乘法计数原理(乘法原理)

李娜为备战网球公开赛，需从北京到A城进行封闭式训练，中途要在B城停留，若从北京到

B城有7次航班，从B城到A城有6列动车．

思考1 李娜从北京到A城需要经过几个步骤？

思考2 李娜从北京到A城共有多少种不同的方法？

梳理 分步乘法计数原理(乘法原理)

1

完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝____________种方法．

类型一 分类加法计数原理

例1 在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？

反思与感悟 (1)应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事． (2)利用分类加法计数原理解题的一般思路

x2y2

跟踪训练1 设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程＋＝1表示焦点位于x轴上的椭圆

mn的有( ) A．6个

B．8个

C．12个 D．16个 类型二 分步乘法计数原理

例2 (1)4名同学选报跑步、跳高、跳远3个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？ (2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每项冠军只允许一人获得)，共有多少种可能的结果？

2

反思与感悟 在运用分步乘法计数原理解决问题时，应首先弄清分步的主体是什么，再根据主体进行分步，最后根据分步乘法计数原理进行解题．

跟踪训练2 从－2，－1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为________． 类型三 两个计数原理的应用

例3 如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块．现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，问共有多少种不同的种植方法．

2

反思与感悟 综合应用两个原理时，一定要把握好分类与分步．分类是根据完成方法的不同类别，分步是根据一种方法进程的不同步骤．

跟踪训练3 如图所示，将四棱锥S－ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．

3

1．在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为( ) A．20 B．10 C．5 D．24

2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( ) A．7 B．12 C．64 D．81

3．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) A．5 B．6 5×6×5×4×3×2C.

2

D．6×5×4×3×2

6

5

4．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.

A C D 5．如图，A→C有________种不同的走法．

B

1．使用两个原理解题的本质

分类―→将问题分成互相排斥的几类，逐类解决―→分类加法计数原理 分步―→把问题分化为几个互相关联的步骤，逐步解决―→分步乘法计数原理 2．“分类”“分步”的注意点

(1)分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．

(2)分步要做到“步骤完整”．完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

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