小学奥数-几何五大模型(相似模型)分解

1EF． 2111那么?EMN的面积占?BEF面积的??，所以阴影部分面积为

236?1?15??1???12.5(平方厘米)．

?6?EN:FN?DE:FC?1:1，所以EN?(法2)如图，连接AM．

根据燕尾定理，S?ABM:S?BCM?AE:EC?1:1，S?ACM:S?BCM?AD:DB?1:1，

11所以S?BCO?S?ABC??60?20平方厘米，

33111而S?BDC?S?ABC??60?30平方厘米，所以S?FCN?S?BDC?7.5平方厘米，

224那么阴影部分面积为20?7.5?12.5(平方厘米)．

【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：

⑴利用面积公式：底?高?2； ⑵利用整体减去部分； ⑶利用比例和模型．

【例 25】 如图,ABCD是直角梯形，AB?4,AD?5,DE?3，那么梯形ABCD的面积是

多少?

AOBAFBOD

【解析】 延长EO交AB于F点，分别计算△AOD,△AOB,△DOC,△BOC的面积，再求和． DE∶BF?DO∶OB?3∶1

∴S△AOD∶S△AOB?3∶1；S△DOC?S△BOC?3∶1

S△AOD?S△BOC

1 又∵S△ABD??4?5?10

23 ∴S△AOD?S△ABD?7.5,S△AOB?2.5,S△BOC?7.5,S△DOC?3S△BOC?3?7.5?22.5

4 ∴S梯形ABCD?7.5?2.5?7.5?22.5?40

ECDEC

【例 26】 边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面

积是多少平方厘米？

AMNHOB

【解析】 给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为ABCD，小正方形为MNDE，EB分别交AC,AD于O,H两点，

EDCAO∶OC?AB∶EC?12∶20?3∶5，AH∶BC?AO∶OC?3∶5

∴AOS△ADC?9∶40 ∶AC?3∶8，AH∶AD?3∶5，S△AHO∶1∵S△ADC??122?72

299∴S△AHO?S△ADC??72?16.2

4040

【例 27】 如右图，长方形ABCD中，EF?16，FG?9，求AG的长．

DAGFECB

【解析】 因为DA∥BE，根据相似三角形性质知 又因为DF∥AB， 所以

DGAG， ?GBGEDGFG， ?GBGAAGFG，即AG2?GE?FG?25?9?225?152，所以AG?15． ?GEGA

【例 28】 (第21届迎春杯试题)如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中

点，E是DC边上的点，且DE:EC?1:3，AF与BE相交于点G，求S△ABG

ABABGFGFDAEBCDECMGFD

【解析】 方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有

ECAB:CM?BF:FC?1:1，因此CM?4，根据题意有CE?3，再根据另一个沙漏

4432有GB:GE?AB:EM?4:7，所以S△ABG?． S△ABE??(4?4?2)?4?71111方法二：连接A,EE，F分别求S△ABF?4??2?2，

S△AEF?4?4?4?1?2?3?2?2?4?7S△A:B△，根据

SF?B?A:E，所以GGS△ABGE?F4S△ABE4?7定理

432． ??(4?4?2)?1111蝴蝶

【例 29】 如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点，

BF交EC于M，求?BMG的面积．

FDAEBIAHMGCFHGD

EMB

C【解析】 解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF//BD，而

FD:BC?FH:H?C1:，2

EB:CD?BG:GD?1:2所以CH:CF?GH:EF?2:3，

并得G、H是BD的三等分点，所以BG?GH，所以

BG:EF?BM:MF?2:3，

21111所以BM?BF，S?BFD?S?ABD??SABCD?；

522241121211又因为BG?BD，所以S?BMG???S?BFD????．

33535430 解法二：延长CE交DA于I，如右图，

可得，AI:BC?AE:EB?1:1， 从而可以确定M的点的位置，

BM:MF?BC:I?F2:，3

21 BM?BF，BG?BD(鸟头定理)，

53212111 可得S?BMG??S?BDF???SABCD?

5353430

【例 30】 (清华附中入学试题)正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，

F是BC的中点，四边形BGHF的面积是 平方厘米．

ADEGHFADBCEGHFBC

M

【解析】 欲求四边形BGHF的面积须求出?EBG和?CHF的面积．

1由题意可得到：EG:GC?EB:CD?1:2，所以可得：S?EBG?S?BCE

3将AB、DF延长交于M点，可得：

BM:DC?MF:FD?BF:FC?1:1，

12而EH:HC?EM:CD?(AB?AB):CD?3:2，得CH?CE，

251121而CF?BC，所以S?CHF??S?BCE?S?BCE

2255111 S?BCE??AB?BC??120?30

2241177 S四边形BGHF?S?S?S?S?01?．4 ?EBC?EBC?EBC?EBC3?351515 本题也可以用蝴蝶定理来做，连接EF，确定H的位置(也就是FH:HD)，同样也

能解出．

【例 31】 如图，已知S△ABC?14,点D,E,F分别在AB,BC,CA上，且

AD?2,BD?5,AF?FC，S四边形DBEF?S△ABE则S△ABE是多少？

CCEFEFA

【解析】 △ABC的面积已知，若知道△ABE的面积占△ABC的几分之几就可以计算出

DBADB△ABE的面积．连接CD．

∵S四边形DBEF?S△ABE ∴S△DEF?S△ADE ∴AC与DE平行， ∴S△ADE?S△CDE ∴S△ABE?S△CDB ∵AD?2，BD?5