小学奥数-几何五大模型(相似模型)分解

验可知只有m?6、n?4满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米．根据相似三角形性质，BG:GF?AB:FE?6:4?3:2，而BG?GF?6，得

1BG?3.6(厘米)，所以阴影部分的面积为：?6?3.6?10.8(平方厘米)．

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【例 17】 如图，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，O是矩形一条对角线的中点，

那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？

D4OE3AD4OE3ACFBCFB【解析】 连接OB,面积为4的三角形占了矩形面积的

1，所以S△OEB?4?3?1,所以4,由三角形相似可得阴影部分面积为OE:EA?1:3,所以CE:C?A5:85258?()2?．

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【例 18】 已知长方形ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点，F、G是BC边上的

三等分点，求阴影△EHO的面积是多少厘米？

AHBFEOGCBDAHFEOGCD

【解析】 因为E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形

的长分成6份的话，那么ED?AD?3份、BF?FG?GC?2份，大家能在图形中找到沙漏△EOD和△BOG：有ED所以OD相当于把BD∶BG=3∶4，∶BO?3∶4，分成(3?4)7份，同理也可以在图中在次找到沙漏：△EHD和△BHF也是沙漏，

ED∶BF?3∶2，由此可以推出：HD∶BH?3∶2, 相当于把BD分成(3?2)5份，

那么我们就可以把BD分成35份(5和7的最小公倍数)其中OD占15份，BH占1435份，HO占6份，连接EB则可知△BED的面积为70?4?，在BD为底的三角

2356形中HO占6份，则面积为：??3(平方厘米).

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【例 19】 ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，

则图中阴影部分的面积为 平方厘米．

AODAOGDEEHMCMBFCBF 【解析】 方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质．

设G、H分别为AD、DC的中点，连接GH、EF、BD．

1可得SAED=S平行四边形ABCD，

4对角线BD被EF、AC、GH平均分成四段，又OM∥EF，所以

23DO:ED?BD:BD?2:3，OE:ED??ED?OD?:ED??3?2?:3?1:3，

441111所以 SAEO??S平行四边形ABCD???72?6(平方厘米)，

3434?2?SAEO?12(平方厘米)． 同理可得S所以 SABCCFMSADO?6平方厘米，SAEOCDM?12平方厘米．

?S?SCFM?36?6?6?24(平方厘米)，

于是，阴影部分的面积为24?12?12?48(平方厘米)．

方法二：寻找图中的沙漏，AE:CD?AO:OC?1:2，FC:AD?CM:AM?1:2，

11因此O,M为AC的三等分点，S△ODM?S平行四边形ABCD??72?12(平方厘米)，

6611S△AEO?S△OCD??12?2?6(平方厘米)，同理S△FMC?6(平方厘米)，所以

44S阴影?72?12?6?6?48(平方厘米)．

【例 20】 如图，三角形PDM的面积是8平方厘米，长方形ABCD的长是6厘米，宽是

4厘米，M是BC的中点，则三角形APD的面积是 平方厘米．

ADANKDPBMCPBCM

【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一

般需要通过这一点做垂线．

取AD的中点N，连接MN，设MN交PD于K．

则三角形PDM被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK，可知三

18角形PDM的面积等于?MK?BC?8(平方厘米)，所以MK=(厘米)，那么

2384NK?4??(厘米)．

338因为NK是三角形APD的中位线，所以AP?2?NK?(厘米)，所以三角形APD318的面积为 ??6?8(平方厘米)．

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【例 21】 如图，长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H，

OE垂直AD于E，交AF于O，已知AH?5cm，HF?3cm，求AG．

AGEDOHFC

【解析】 由于AB∥DF，利用相似三角形性质可以得到AB:DF?AH:HF?5:3，

又因为E为AD中点，那么有OE:FD?1:2，

3所以AB:O?E5:?1，0:利3用相似三角形性质可以得到

2AG:GO?AB:OE?10:3，

111040而AO?AF???5?3??4?cm?，所以AG?4???cm?．

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B1【例 22】 右图中正方形的面积为1， E、F分别为AB、BD的中点，GC?FC．求

3阴影部分的面积．

ADADEFGEFG 【解析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求

解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质． 阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积． 可以作FH垂直BC于H，GI垂直BC于I．

根据相似三角形性质，CI:CH?CG:CF?1:3，又因为CH?HB，所以

1155CI:CB?1:6，即BI:BC??6?1?:6?5:6，所以SBGE????．

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【例 23】 梯形ABCD的面积为12，AB?2CD，E为AC的中点，BE的延长线与AD交

于F，四边形CDFE 的面积是 ．

BCBHICDFEACGFDCEB

AB

【解析】 延长BF、CD相交于G．

11由于E为AC的中点，根据相似三角形性质，CG?AB?2CD，GD?GC?AB，

22再根据相似三角形性质，AF:FD?AB:DG?2:1，GF:GB?1:3，而 ?AB:C?D2，:111所以S?BCD?SABCD??12?4，S?GBC?2S?BCD?8．

33S181111?11?又?GDF???，S?EBC?S?GBC，所以SCDFE??1???S?GBC?S?GBC?．

33S?GBC2362?26?S?ABD:S?BCD

【例 24】 如图，三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，

那么阴影部分的面积是 平方厘米．

AADEDEMNCBAFC

BF

DEMNC

【解析】 阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形

的面积之差．而从图中来看，既可以转化为?BEF与?EMN的面积之差，又可以转化为?BCM与?CFN的面积之差． (法1)如图，连接DE．

由于D、E、F分别为各边的中点，那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形

BFABC面积的一半，即30平方厘米；那么?BEF的面积为平行四边形BDEF面积的

一半，为15平方厘米．

根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的

1一半，则EM:BM?DE:BC?1:2，所以EM?EB；

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