小学奥数-几何五大模型（相似模型）分解

任意四边形、梯形与相似模型

模型四 相似三角形模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

AEAFDDBFGEC

BGC

ADAEDEAF①； ???ABACBCAG②S△ADE：S△ABC?AF2:AG2。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。

【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD中，AB?16，AD?10，BE?4，那么FC的长

度是多少？

DCFABE

【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD，

4所以BF:FC?BE:CD?4:16?1:4，所以FC?10??8．

1?4

【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15厘米，AC被分为60等份。

如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE平行AB)，那么小玻璃管口径DE是多大？

BE

【解析】 有一个金字塔模型，所以DE:AB?DC:AC，DE:15?40:60，所以DE?10厘米。

【例 3】 如图，DE平行BC，若AD:DB?2:3，那么S△ADE:S△ECB?________。

ADBEA0D10203040C5060

C【解析】 根据金字塔模型

S△ADE:S△ABC?22:52?4:25，

AD:AB?AE:AC?DE:BC?2:(2?3)?2:5，

设S△ADE?4份，则S△ABC?25份，S△BEC?25??5?3份，所以

S△AD:S?4B:。1 E△EC

【例 4】 如图， △ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD?DF?FB，

则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB? 。

ADFBEGC【解析】 设S△ADE

?1份，根据面积比等于相似比的平方，

所以S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4，S△ADE:S△ABC?AD2:AB2?1:9，因此

S△AFG?4份，S△ABC?9份，

进而有S四边形DEGF?3份，S四边形FGCB?5份，所以S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB?1:3:5

【巩固】如图，DE平行BC，且AD?2，AB?5，AE?4，求AC的长。

ADBE

【解析】 由金字塔模型得AD:AB?AE:AC?DE:BC?2:5，所以AC?4?2?5?10

【巩固】如图， △ABC中， PQ，MN，BC互相平行，AD?DF?FM?MP?PB，FG，DE，

则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB? 。

ADFMEGCNQCPB【解析】 设S△ADE?1份，S△ADE:S△AFG

?AD2:AF2?1:4，因此S△AFG?4份，进而有

S四边形DEGF?3份，同理有S四边形FGNM?5份，S四边形MNQP?7份，S四边形PQCB?9份．

所以有S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB?1:3:5:7:9

【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列。

【例 5】 已知△ABC中，若AD:DB?2:3，且S梯形DBCE比S△ADE大8.5cm2，DE平行BC，

求S△ABC。

ADBE

C【解析】 根

S梯形D据金字塔模型AD:AB?DE:BC?2:(2?3)?2:5，

S△ADE:S△ABC?22:52?4:25，设S△ADE?4份，则S△ABC?25份，

B?C2E5?4?份，S梯形DBCE比S△ADE大17份，恰好是8.5cm2，所以

S△ABC?12.5cm2

【例 6】 如图：MN平行BC， S△MPN:S△BCP?4:9，AM?4cm，求BM的长度

AMPBCN

【解析】 在沙漏模型中，因为S△MPN:S△BCP?4:9，所以MN:BC?2:3，在金字塔模型中有：

AM:AB?MN:BC?2:3，因为AM?4cm，AB?4?2?3?6cm，所以

BM?6?4?2c m

【巩固】如图，已知DE平行BC，BO:EO?3:2，那么AD:AB?________。

ADBOCE

【解析】 由沙漏模型得BO:EO?BC:DE?3:2，再由金字塔模型得

AD:AB?DE:BC?2:3．

【例 7】 如图，?ABC中，AE?11AB，AD?AC，ED与BC平行，?EOD的面积是144平方厘米。那么?AED的面积是 平方厘米。

AEODBC【解析】 因为AE?11AB，AD?AC，ED与BC平行， 44根据相似模型可知ED:BC?1:4，EO:OC?1:4，S?COD?4S?EOD?4平方厘米， 则S?CDE?4?1?5平方厘米，

15又因为S?AED:S?CDE?AD:DC?1:3，所以S?AED?5??(平方厘米)．

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【例 8】 在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，CDO的面积是ABO面

积的几倍？