习题解答振动和波动-山东大学

[习题解答]

6-2 一个运动质点的位移与时间的关系为

m ,

其中x的单位是m，t的单位是s。试求：

(1)周期、角频率、频率、振幅和初相位；

(2) t = 2 s时质点的位移、速度和加速度。

解

(1)将位移与时间的关系与简谐振动的一般形式

相比较，可以得到

角频率

s?1, 频率

, 周期 , 振幅 ,

初相位 .

(2) t = 2 s时质点的位移

.

t = 2 s时质点的速度

.

t = 2 s时质点的加速度

.

6-3 一个质量为2.5 kg的物体系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定。若弹簧受10 n的拉力，其伸长量为5.0 cm，求物体的振动周期。

解 根据已知条件可以求得弹簧的劲度系数

,

于是，振动系统的角频率为

.

所以，物体的振动周期为

.

6-4 求图6-5所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1

和k2。

解 以平衡位置o为坐标原点，建立如图6-5所示的坐标系。若物体向右移动了x，则它所受的力为

.

根据牛顿第二定律，应有

图6-5

,

改写为

.

所以

,

.

6-5 求图6-6所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 和k2。

解 以平衡位置o为坐标原点，建立如图6-6所示的

图6-6

弹簧2伸长了x2 ，并有

坐标系。当物体由原点o向右移动x时，弹簧1伸长了x1 ，

.

物体所受的力为

,

式中k是两个弹簧串联后的劲度系数。由上式可得

, .

于是，物体所受的力可另写为

,

由上式可得

所以

,

.

装置的振动角频率为

,

装置的振动频率为

.

6-6 仿照式(6-15)的推导过程，导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。

解 由教材中的例题6-3，单摆的角位移?与时间t的关系可以写为

? = ? 0 cos (? t+?) ,

单摆系统的机械能包括两部分, 一部分是小物体运动的动能

,

另一部分是系统的势能，即单摆与地球所组成的系统的重力势能

.

单摆系统的总能量等于其动能和势能之和，即

,

因为 , 所以上式可以化为

.