(完整版)高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答

(x0,y0)?(0,0)，

u(x,y)??(x,y)(0,0)2Pdx?Qdy=x2?xsiny

222（2）(x?2xy?y)dx?(x?2xy?y)dy；

解 因为P?x?2xy?y，Q?x?2xy?y，所以

2222?P?Q在整个?2x?2y??y?x2222：在整个xOy面内，(x?2xy?y)dx?(x?2xy?y)dy是某xOy面内恒成立，因此，

一函数u(x,y)的全微分，即有

(x2?2xy?y2)dx?(x2?2xy?y2)dy?du。

易知 u(x,y)?131x?x2y?xy2?y3?C。 33（3）ex(1?siny)dx?(ex?2siny)cosydy。

解 令P(x,y)?ex(1?siny)，Q(x,y)?(ex?2siny)cosy，则在全平面上有 ?Q?P??excosy，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上， ?x?yex(1?siny)dx?(ex?2siny)cosydy

是全微分．

u(x,y)?ex?1?exsiny?sin2y．

5 可微函数f(x,y)应满足什么条件时，曲线积分

?与路径无关？

Lf(x,y)(ydx?xdy)

解 令P?yf(x,y)，Q?xf(x,y)，则

?P?Q?f(x,y)?yfy(x,y)，?f(x,y)?xfx(x,y)。 ?y?x当

5

?P?Q?，曲线积分?f(x,y)(ydx?xdy)在整个xOy面内与路径无关。

L?y?x习题10—4

1 当?为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分

??f(x,y,z)dS与二重积分有什么关系?

?答 当?为xOy面内的一个闭区域D时，?在xOy面上的投影就是D，于是有 2 计算曲面积分（1）锥面z???f(x,y,z)dS??f(x,y,0)dxdy。

?D22(x?y)dS，其中?是 ???x2?y2及平面z?1所围成的区域的整个边界曲面；

1(2?1)?。 2解 ??z?y（2）yOz面上的直线段? (0?z?1)绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面。

x?0?解 2?。 2

3 计算下列曲面积分: (1)

22z?2?(x?y),z?0； ，其中是抛物面在面上方的部分：xOydS????解：?13π. 3

(2)

2222x?y?z?a，其中是上半球面,z?0； (x?y?z)dS????解： ?0?πa3?πa3.

3yzxyz（3）??(x??)dS，其中?为平面???1在第一卦限的部分；

22234? （4）

761． 61222x?y?RdS，其中是柱面被平面z?0﹑z?H所截得的部分. ?22??x?y?解

πH1. dS?22??Rx?y?1πH1?. dS22??Rx?y?2同理可求得

6

所以

4 求抛物面壳z? 解?

12πHdS. ?22??x?yR?12(x?y2)（0?z?1）的质量，此壳的密度为??z。 22π(63?1). 15 习题10—5

1当?为xOy面内的一个闭区域时,曲面积分

??R(x,y,z)dxdy与二重积分有什么关系?

?答 当?为xOy面内的一个闭区域时, ?的方程为z?0。若?在xOy面上的投影区域 为Dxy，那么

??R(x,y,z)dxdy????R(x,y,0)dxdy，

?Dxy当?取上侧时，上式右端取正号; 当?取下侧时，上式右端取负号。

2 计算下列对坐标的曲面积分:

(1) ??(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy，其中?是以坐标原点为中心，边长为2的

?立方体整个表面的外侧；

解 ：??(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy?24.

?

1（2）??(z2?x)dydz?zdxdy，其中?为旋转抛物面z?(x2?y2)介于z?0,z?2之间部

2?分的下侧。

解：

??(z?2?x)dydz?zdxdy?8π。

（3）

2222x?y?z?a，其中为，z?0的上侧； xdydz?ydxdz?zdxdy????解∴ 原式=

23?a?3=2?a3 37

（4）

ò??xydydz?yzdxdz?zxdxdy，其中?是由平面x?0，y?0，z?0，

?x?y?z?1所围成的四面体的表面的外侧。

解：

3 把对坐标的曲面积分

ò??xydydz?yzdxdz?zxdxdy?。

?18??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy

?化成对面积的曲面积分，这里?为平面3x?2y?23z?6在第一卦限的部分的上侧。

3223R(x,y,z)]dS 解：???[P(x,y,z)?Q(x,y,z)?555?

习题10—6

1 利用高斯公式计算下列曲面积分： （1）

22x?y?1及平面z?0及z?3所，其中为柱面(x?y)dxdy?x(y?z)dydz?ò???围成的空间闭区域?的整个边界曲面的外侧。（《高等数学》P170 例1）

9解：??。

2 （2）

22，其中为曲面及平面(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdyz?x?y?ò???z?0﹑z?h(h?0)所围成的空间区域的整个边界的外侧。

解

zò??(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy=0.

?（3）

??(x?2其中?为锥面cos??ycos??zcos?)dS，

22z?hx2?y2?z2介于平面z?0﹑z?h(h?0)之间的部分的下侧，

xoycos?﹑cos?﹑cos?是?在点(x,y,z)处的法向量的方向余

弦。

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