2020届河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(有答案)

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∴an=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n， （2）bn=

=

=+

﹣

=（

﹣

）， ﹣

）=

﹣

∴Sn=（﹣+﹣+﹣+…+﹣

）=（+﹣

18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下： 组别 第一组 第二组 第三组 第四组

PM2.5浓度（微克/立方米）

（0，35] （35，75] （75，115] 115以上

频数（天）

32 64 16 8

（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？

（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随 机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；B3：分层抽样方法．

【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；

（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．

【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样， 抽样比k=

=，

第一组抽取32×=8天； 第二组抽取64×=16天； 第三组抽取16×=4天； 第四组抽取8×=2天

（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．

所以6天任取2天的情况有： AB，AC，AD，A1，A2，

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BC，BD，B1，B2，CD， C1，C2，D1，D2，12，共15种

记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有： A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种 所以，所求事件A的概率P=

19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）． （1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E； （2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．

，侧棱AA1=2，点D为

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．

【分析】（1）由已知可得CD⊥AB．再由AA1⊥平面ABC，得AA1⊥CD．利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1．进一步得到CD⊥B1E； （2）当λ=时，

．再由△ABC是等腰直角三角形，且斜边结合等积法得答案．

【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，∴CD⊥AB． ∵AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴AA1⊥CD． 又∵AA1?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，AA1∩AB=A， ∴CD⊥平面ABB1A1．

∵点E在线段AA1上，∴B1E?平面ABB1A1， ∴CD⊥B1E；

（2）解：当λ=时，

∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边∴

．

，∴AC=BC=1．

， ，

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，得AC=BC=1．然后利用

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∴．

20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点． （1）求点M的轨迹C的方程； （2）过点

的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径

的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可． （2）直线l的方程可设为

，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假

，求得m=﹣1．推出

设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用结果即可．

【解答】解：（1）由题意得

∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵∴点M的轨迹C的方程为（2）直线l的方程可设为

．

，设A（x1，y1），B（x2，y2），

，

，

联立可得9（1+2k）x+12kx﹣16=0．

22

由求根公式化简整理得，

即

．

假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则∵

，

=

=

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=

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．

∴求得m=﹣1．

因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．

21．已知函数h（x）=（x﹣a）e+a． （1）若x∈，求函数h（x）的最小值；

（2）当a=3时，若对?x1∈，?x2∈，使得h（x1）≥x2﹣2bx2﹣ae+e+

2

x

成立，求b的范围．

【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．

【分析】（1）求出极值点x=a﹣1．通过当a≤0时，当0＜a＜2时，当a≥2时，利用函数的单调性求解函数的最小值． （2）令

，“对?x1∈，?x2∈，使得

成立”等

价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．推出h（x）min≥f（x）min．通过①当b≤1时，②当1＜b＜2时，③当b≥2时，分别利用极值与最值求解b的取值范围． 【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）ex，令h'（x）=0得x=a﹣1．

当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在上h'（x）≥0，函数h（x）=（x﹣a）e+a递增，h（x）的最小值为

x

．

当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣ea﹣1+a．

当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a． 综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为时，h（x）最小值为﹣ea﹣1+a． （2）令

，

成立”

，当a≥2时h（x）的最小值为（1﹣a）e+a，当0＜a＜2

由题可知“对?x1∈，?x2∈，使得

等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”． 即h（x）min≥f（x）min．

由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3． 当a=3时，①当b≤1时，由

得

，

，与b≤1矛盾，舍去．

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，x∈，