2014年全国各地中考数学解析版试卷分类汇编总汇：图形的相似与位似(共107页)

（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；

（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，求x1?x2?x3的最大值；

（3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA?GE=CG?AB，求抛物线的解析式．

（第5题图）

考点：二次函数综合题

分析：（1）由判别式△=（k+2）2﹣4×1×

=k2﹣k+2=（k﹣）2+＞0，即可证得无论k取

何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；

（2）由抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，可得x1?x2=

，x3=﹣（k+1），继而可求得答案；

，

（3）由CA?GE=CG?AB，易得△CAG∽△CBE，继而可证得△OAD∽△OBE，则可得

又由抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，可得OA?OB=

，OD=

，OE=（k+1）2，继而求得

点B的坐标为（0，k+1），代入解析式即可求得答案． 解答：（1）证明：∵△=（k+2）2﹣4×1×∵（k﹣）2≥0， ∴△＞0，

∴无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；

=k2﹣k+2=（k﹣）2+，

（2）解：∵抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3， ∴x1?x2=

，

令0=（k+1）x+（k+1）2， 解得：x=﹣（k+1）， 即x3=﹣（k+1）， ∴x1?x2?x3=﹣（k+1）?∴x1?x2?x3的最大值为：

=﹣（k+；

）2+

，

（3）解：∵CA?GE=CG?AB， ∴

，

∵∠ACG=∠BCE， ∴△CAG∽△CBE， ∴∠CAG=∠CBE， ∵∠AOD=∠BOE， ∴△OAD∽△OBE， ∴

，

∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E， ∴OA?OB=

，OD=

，OE=（k+1）2，

∴OA?OB=OD， ∴

∴OB2=OE， ∴OB=k+1， ∴点B（k+1，0），

将点B代入抛物线y=x2﹣（k+2）x+解得：k=2，

得：（k+1）2﹣（k+2）（k+1）﹣

=0，

，

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．

点评：此题属于二次函数的综合题，综合性很强，难度较大，主要考查了一次函数与二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

18. （2014?扬州，第28题，12分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

（第6题图）

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA． ①求证：△OCP∽△PDA；

②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数； （3）如图2，

，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP

上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

考点：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；特殊角的三角函数值． 专题：综合题；动点型；探究型．

分析：（1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．

（2）由DP=DC=AB=AP及∠D=90°，利用三角函数即可求出∠DAP的度数，进而求出∠OAB的度数．

（3）由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半，只需求出PB长就可以求出EF长． 解答：解：（1）如图1，

①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°． 由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B． ∴∠APO=90°．

∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC． ∵∠D=∠C，∠APD=∠POC． ∴△OCP∽△PDA．

②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4， ∴

=

=

=

=．

∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP． ∵AD=8，∴CP=4，BC=8． 设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x． 在Rt△PCO中，

∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x， ∴x2=（8﹣x）2+42． 解得：x=5． ∴AB=AP=2OP=10． ∴边AB的长为10． （2）如图1， ∵P是CD边的中点， ∴DP=DC． ∵DC=AB，AB=AP， ∴DP=AP． ∵∠D=90°， ∴sin∠DAP=

=．