第七章 振动质点组力学(2)

Fs??k(x1?x2)

此外，还有单摆力

Fp??mgx1 l因此，第一个质点的牛顿运动方程为

?mgx1?k(x1?x2)?mx1 l或者

d2x1gk?x?(x1?x2)?0 1dt2lm类似的，第二个质点所受到的回复力为

?mgx2?k(x1?x2) l所以，其动力学方程为

d2x2gk?x?(x1?x2)?0 2dt2lm以上两个动力学方程为耦合的二阶常微分方程，必须同时求解方程才能获得问题的解答。这里我们采用另外的方法来处理：将两方程相加，得

d2(x1?x2)g?(x1?x2)?0

dt2l与简谐振动的牛顿方程d2x/dt2??02x?0比较，惊奇的事情出现了：这是变量为(x1?x2)的简谐振动动力学方程！其振动频率为g/l，正好是单摆模的频率。若将两方程相减，则得

d2(x1?x2)?g2k?????(x1?x2)?0

dt2?lm?同样，这是变量(x1?x2)的简谐振动动力学方程，其振动频率为g/l?2k/m，而这正好是呼吸模的频率！为了更进一步看清这点，我们引入变量

q1?(x1?x2)，q2?(x1?x2)

原来的两个方程就成为

d2q1??12q1?0 2dt和

d2q22??q2?0 22dt这是两个独立的简谐振动的方程，因为，方程中不包含有交叉项q1q2，两个振动的频率分别是?1?g/l和?2?(g/l?2k/m)。这两个方程的通解分别是

q1?C1cos(?1t??1)，q2?C2cos(?2t??2)

其中C1和C2以及?1和?2分别是积分常数，由初始条件决定。这是两个独立的简谐振动，故特别地称变量q1和q2为简正坐标（normal coordinates），而?1和。 ?2为简正频率（normal frequencies）