第七章 振动质点组力学(2)

In the breathing mode, the system oscillates between these two configurations.Each mass oscillates with constant amplitude.

此时，由于弹簧的中心不动，因而可以看作是如图中所示的两个振动。其运动方程为

?mgx1?2kx1?mx1 l其中第一项为单摆的回复力（对较小的?，取x1对伸长2X1的回复力。

；第二项则为弹簧相l?1）

The center point of the spring doesn't move, so we could pretend that it's attached to a wall.

将方程化简，得

d2x12??x1?0 22dt2其中?2?(g/l?2k/m)。显然，?2??1，注意到对称性，有x1??x2，两质

点组的运动方程为

x1?Bcos?2t，x2??Bcos?2t

其中B由初始位置决定。同样，质点是从静止开始运动的，其初相位为零。这样，我们又得到了另一种简单运动的运动方程。

纵观上面的讨论，我们发现这些简单运动形式（或模式）的几个特点： 1）两个质点都是以相同的频率振动； 2）每个质点都以恒定的振幅作简谐振动； 3）两质点有固定的相位差：要么为零，要么为?；

4）一旦质点组以其中一种简单形式运动，则质点组将保持在这一简单运动形式之中，不会发生改变，也即每一简单运动形式都是稳定的。

我们称具有这些特点的简单运动形式为简正模（normal mode）。由此可见，同步摆就是一种简正模，我们称之为“单摆模”。相向摆也是一种简正模，我们形象地称之为“呼吸模”。

mx1mx2

General case for the superposition of normal modes where x1??x2.

下面考察耦合摆的一般运动。从牛顿定律入手，见图。由于两质点的位移分别为x1和x2，弹簧的相对伸长为(x1?x2)，所以，作用在第一个质点上的弹力为