概率论与数里统计(II)期末考试样卷4参考答案

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…概率论与数理统计（II）期末考试样卷4参考答案

记为S， 当?2未知时，在显著性水平α下，检验假设H0:???0?H1:???0的统计量为

……计算中可能用

到

的

分

布函

数值

或分位

数为

n?x??0?……u0?.19.56u4?50,t?1.?(2.97596t0,.954)t8?2,?.01399t? ，拒绝域为 ?t?t1??? 。 .(91)58?3,s.2(540,.)947.560410,.0(512)2.17…?(1.?714?)0.?956?4F…0,(.?29(,511.?221)4?330)..980

59.?,87(299),1(62..961)90.9953,…

…

…一、填空题(每小题3分，共24分)

二、单项选择题(每小题2分，共8分)

……1. 设总体X~P(?),X?…1,X2,?,Xn为来自X的一个样本，则EX?_ ?__，DX?_

n__.

1. 设X1,?,Xn为来自N(?,?2)的一个样本，其中μ已知而?2未知，则下列各选项中的量不是统计量……2. 设X?51,X2,?,X25是从均匀总体U(0,5)抽取的样本，则x的渐近分布为 N?,1?

的是（ C ）。

…?212? 。?n1n2……3. 设X1,X2,X3,X4是取自正态总体X~N(0,22)的简单随机样本且

A.??Xi???2;B.??X?i?mi?1n??Xi?X?2n;C.i?1i?1??;D.??1?iin?n?Xi?

……Y?a?X2111?2X2??b?3X3?4X24?，则a? 1??x线20 ，b?

1100 时，统计量Y服从?2分布。

2. 设总体X的密度函数为：P(x,?)??e,x?0,其他为0，其中??0为未知参数，

封4. 设总体X~U(0,?)，现从该总体抽取容量为10的样本，样本值为

n密(X11,X2,?,Xn)是从总体X中抽取的样本，记X?n…?Xi，则?的最大似然估计为 : （ A ） 0.5 1.3 0.6 1.7 2.2 1.2 0.8 1.5 2.0 1.6 i?1……则参数?的矩估计为 2.68 。

nn……5. 设从总体X~N??2N??2（A） X （B）1X （C）S21?(X2n?ni?X) （D）S?2n?12n－1?(Xi?X)

1,?1?和Y~2,?2?中分别抽取容量为n1?10,n2?15的独立样本，计算

i?1i?1……得x?82,s22223. 设总体x?56.5,y?76,sy?52.4。若?1??22??未知，则?1??2的置信度为0.95的置信

X服从正态分布N(?,?2)，其中?为未知参数，?2已知，

（X1，X2，?,Xn）为取自总体的……区间为 [-0.2063，12.2063] 。

n…样本，记??…6. 在假设检验中，如果原假设H5n,X?u0.95n) 作为 ?的置信区间，

其置信度为 （ B ） 0的否定域是W，若拒绝H0且不犯错误的，则样本观测值x1,x2,?,xX?1n?Xi，则 （X－u0.9n应i?1……满足 H（A）0.95 （B）0.90 （C）0.975 （D）0.05

0 不成立，x1,x2,?,xn?W 。

…4. 在假设检验中，如果原假设H0的否定域是W，那么样本观测值x1,x2,?,xn只可能有下列四种情况，其

……7. 设X1,X2?,Xn是来自正态总体的样本，其中参数μ未知，要检验假设H2??20:?0 应用 ?2? 中拒绝H0且不犯错误的是（ C）。

……检验法，检验的统计量是 ?2?(n?1)S2A．H0 成立，x1,x2,?,xn?W； B．H0 成立，x1,x2,?,xn?W …?2 0…C．H0 不成立，x1,x2,?,xn?W； D．H0 不成立，x1,x2,?,xn?W.

……8. 设总体X~N(?,?2),?,?2都是未知参数，把从X 中抽取的容量为n的样本均值记为X，样本标准差

命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：

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…三、 计算题(共24分)

3（10分）测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出s=0.037%,设测定值总体为正态分布，?2为总

……1（8分） 求总体N(20,3)的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。 体方差，试在水平 ??0.05下检验假设H0:??0.04%,H1:??0.04% ………解： 设容量分别为10，15的两独立样本的均值分别为X,Y，则

解： 题目已设定了检验假设，?0?0.04%，

……1拒绝域为 ?2??n?1?S2?220????n?1?…X?Y~N(0,33 （3分）

10?15)?N(0,2), （4分）

…代值

22…从而

n?10,s2?0.00037,2?0?0.0004,?20.059??3.325?

……P?X?Y?0.3??1?P?X?Y?0.3? 2 …?2??n?1?S29?0.00037…???2?00.00042?7.700625

…?… X?Y?1?P???0.3??2?2?(0.32)?0.6744 （8分）

比较：7.700625?3.325，故?2未落在拒绝域中，从而在??0.05下接受H0。 （8分）

…?33??…?…?10?31510?3?15??

线

封四、应用题（共30分）

2(8分) 设(Xx密1,?,Xn)是来自正态总体的分布为P(X?x?)??(1??),x?0,1,?, ?的先验分布…1（10分）在20世纪70年代后期人门发现，在酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲…为?(?)~U(0,1)，求:(1) ?后验分布；(2) ?的Bayes估计??…B

胺（NDMA）。到了20世纪80年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程。下面给出分别在新老两种过程中形成…n的NDMA含量（以10亿份中的份数计）。 ……解：h(x?,xn?xi1,n?)??(1??)i?1,0???1， （2分） ……n老过程 6 4 5 5 6 5 5 6 4 6 7 4 x……?(?x)?h(x1,?,xnn;?)??(1??)?ii?1 ,

新过程 2 1 2 2 1 0 3 2 1 0 1 3 n…?10h(x1,?,xn;?)d?…?1n?xii?10?(1??)设两样本分别来自正态总体，且总体的方差相等，但方差未知。两样本独立，分别以?1,?2记对应于老、……n…?(?x新过程的总体的均值，试检验假设Hi?n?2)n0:?1??2?2,H1:?1??2?2（取?=0.05）？

xi… ?i?1ni?1n?(1??)?,0???1 （5分）

……?(n?1)?(?x?1,?21?,设总体Y为新过程中NDMA含量，则

i?1)解：设总体X为老过程中NDMA含量，则X~N?i?1…Y~N…?1??,?222222?,且?1??2??未知。这是一个均值差（??2已知）的t-检验问题。

…??B?E(?(?x))?nn （8分）

…n?2??x检验假设 H0:?1??2?2,H1:?1??2?2 ii?1 命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：

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…检验统计量 t=X?Y?2~t?ny2ij …1?n2?2?

储藏方法 含水率数据 T2ni Ti ??1…S1iw39.9 1592.01 319.39 …n?11n2A1 7.3 8.3 7.6 8.4 8.3 32 1024 208.66 …拒绝域 t=X?Y?2A2 5.4 7.4 7.1 6.8 5.3 …45.6 2079.36 419.26 …S1?t1???n1?n2?2?

A3 7.9 9.5 10.0 9.8 8.4 …wn?1…1n2（1） 假定各种方法储藏的粮食含水率服从正态分布，且方差相等，试在??0.05水平下检验这三种方

……其中n1?n2?2,t??n1?n2?2??t0.05?12?12?2??1.7171,x?5.25。

法对含水率有无显著影响；

…（2） 对每种方法的平均含水率给出置信水平为0.95的置信区间。

……y=1.5,s2211?0.832?11?11?0.932,s2?1,sw?12?12?2?0.9828,

解：这是一个单因子方差分析问题，由所给数据计算可得

…T?……全部代入t的表达式，得t=4.362，比较：t=4.362?t?Ti?39.9?32?45.6?117.5,0.95?12?12?2??1.7171 rm2…ST???y2?T2ij?419.26)?117.5…故拒绝H0,即可以认为：老、新过程的均值差大于2。 i?1j?1n?(319.39?208.6615?26.89,

…1m线

S2T212A?封m?Ti??1024?2079.36)?117.5i?1n?5(1592.0115?18.657,密2（8分）通常每平方米布上的疵点数服从泊松分布，现观测该种布100m2，发现有126个疵点。在显著

S…e?ST?SA?26.89?18.657?8.233.…水平为0.05下能否认为该种布每平方米上平均疵点数不超过1个？并给出检验的p值。 由此可建立如下方差分析表

……来源 平方和 自由度 均方和 F值 …解：以X表示每平方米布上的疵点数，则可设X~P(?)，待检假设为H0:??1?H1:??1。 …因子A 18.6573 2 9.3287 13.5921

…n?x?1?…由于n?100较大，故可采用大样本检验。检验统计量为u?，拒绝域为

误差e 8.2360 12 0.6863 …1 总和 26.8933 14

……W??u?u据计算可得x?126?1.26，因而，检验统计量值为

在显著水平??0.05下，F0.95(2,12)?3.89,故拒绝域W??F?3.89…0.95???u?1.96?。由样本数?.由于

100…F?13.5921?3.89,故认为三种方法对含水率有显著影响.

…u?100…?1.26?1??2.6?1.96。故拒绝原假设，即认为 该种布每平方米上平均疵点数不超过1个的

…（2）每种方法含水率的均值估计分别为

…结论不成立。检验的p值为p?P?u?2.6??0.0047。 ??…1?y1.?7.89,??2?y2.?6.4,??3?y3.?9.12, …

……3（12分）某粮食加工厂试验三种储藏方法对粮食含水率有无显著影响。现取一批粮食分成若干份，分别

而误差方差的无偏估计为??2?MSe?0.6863????0.6863?0.8284. 而

…用三种不同的方法储藏，过一段时间后测的的含水率如下表：

t0.975(12)?2.1788,??t0.975(12)/5?0.8072, 于是三个水平均值的0.95置信区间分别

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…?1:7.89?0.8072?[7.1728,8.7872]; ?2:6.40?0.8072?[5.5928,7.2072]; (3)， … …?3:9.12?0.8072?[8.3128,9.9272].

… … …

…

…五、综合题(14分) 设X?(x??)1,X2,?,Xn1是来自总体X~p(x,?)?e,x??的样本，

… …… （1）求?的最大似然估计??1，它是否是相合估计？是否是无偏估计； …… （2）求?的矩估计??

2，它是否是相合估计？是否是无偏估计；

…

… （3） 考虑?的形如??…c?X(1)?c的估计，求使得??c的均方误差达到最小的c，

……并将之与??1和??2的均方误差进行比较。

……解：(１）(X 1?x1,?,Xn?xn)的联合密度函数为：

线封n

密n?…L(x?(xi??)i??)1,?,xn;?)??e?e?(xi?1I{x(1)??}，要使L最大，显然，?必达到最大，故?的最

…i?1……大似然估计为??

1?X(1)。 （3分） ……???(y??)]n?11 的密度函数为p1(y)?n[ee?(y??)?n[e?(y??)]n,y??

………E(X(1))?E(??y??)1)????yn[e?(]ndy???1…n,故??1?X(1)不是?的无偏估计。 （6分 ）

……（2）E?X??…???xe?(x??)dx?????0(t??)e?tdt???1, 令??2?1?X，解得??2?X?1 （9分）

……Var(X)????2?(x??)dx????2?(x??)???(x??)?[(x??)?1]e?(x??)edx?2??(x??)edx?1

…… ????x2e?xdx?2????x00xedx?1?1

………E???2??E?X?1???,Var???2??Var?X??1…n2?0，

…故??2是无偏估计，也是相合估计。 （12分）

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