函数项级数一致收敛性判别法及其应用.doc

函数项级数一致收敛性判别法及其应用

函数项级数一致收敛性的判别是试题中经常会遇到的问题，这里我把常用的函数项级数一致性的判别法归纳如下： 1.定义法

这种方法常用于证明函数项级数在某个区间的一致收敛性，下面我们一起来看一个关于用定义法证明的例题： 例1 证明函数项级数?xk?1在[-k?1?11,]上的一致收敛性。 22

证明：由题意得 ?xk?1?k?11?xn= 1?x1?xn1 则lim()= 其中x?[?1,1]

n??1?x1-x22xnxn1 sn(x)?s(x)?||??n?1?? 其中x?[?1,1]

1?x1?x222故 取N=[

ln?]，则 1ln2对???0,?上述的N，?n?N,有|sn(x)-s(x)|??

11因此，由定义可知，此级数在[?,]上一致收敛。

222.Cauchy收敛原理

用Cauchy收敛原理既可以证明级数一致收敛，也可以证明级数不一致收敛，我们经常看到的是用它来证明级数一致收敛，下面我们看一个用它来证明级数不一致收敛的例子。

例2 判别级数 ?sinnx的一致收敛性。 其中x?(0,2?) nn?1?解： 由Cauchy收敛原理有：

??0?0,?N,?n,m?N,?x?(0,2?),有：

|sin(n?1)xsin(n?2)xsinmx??...?|n?1n?2m

|sin(n?1)x?sin(n?2)x?...?sinmx|?m取m?2n,x?1，则： n11sin(1?)?sin(2?)?...?sin2nn?mnsin1?

msin1?2??0

故此级数不一致收敛。 3.weierstrass判别法

这种判别法往往通过正项级数的收敛性来判断，用起来比较方便。下面我们来看一下有关的例子。 例3

若?an绝对收敛，由weierstrass判别法易知：?ancosnx在(??,??)上

n?1n?1??一致收敛。

判别级数一致收敛的方法还有很多，如Abel判别法，Dirichlet判别法，以及确界法，数列法等等，这里我不一一说明了，希望通过这几个简单的例子，能够让你们学会如何判别级数的一致收敛性，并能够学到精髓，达到举一反三的效果。