考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

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等价于关于x的方程kx?1?x?1?1在R上没有实数解，即关于x的方程： ex1?k?1?x?x （*）

e在R上没有实数解．

①当k?1时，方程（*）可化为②当k?1时，方程（*）化为

1?0，在R上没有实数解． xe1?xex． k?1令g?x??xex，则有g??x???1?x?ex． 令g??x??0，得x??1，

当x变化时，g??x?的变化情况如下表：

x g??x? g?x? 1e???,?1? ? ?1 ??1,??? ? 0 1? e 当x??1时，g?x?min??，同时当x趋于??时，g?x?趋于??，

?从而g?x?的取值范围为??,???． ??1?e所以当

11??????,??时，方程（*）无实数解， k?1?e?解得k的取值范围是?1?e,1?． 综上，得k的最大值为1．

x223.（2013·广东高考理科·Ｔ21）设函数f(x)?(x?1)e（k?R）. ?kx（2）当k?1时，求函数f(x)的单调区间；

（3）当k?(,1]时，求函数f(x)在[0,k]上的最大值M.

【解题指南】本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程中，应用好分类讨论思想.

xx【解析】（1）当k?1时，f(x)?(x?1)e，?x2，求导可得f?(x)?xex?2x?x(e?2)12

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令f?(x)?0可得x?0,x?ln2，则当x?0时，f?(x)?0；当0?x?ln2时，f?(x)?0；当x?ln2时，f?(x)?0；所以函数f(x)的单调递增区间是(??,0),(ln2,??，单调)递减区间是(0,ln2)；

2（2）对f(x)?(x?1x)e求?kx导可得f?(x)?xe?(x?1x)e?k2x?xx(?e，k因为

k?(1,1]所以2k?(1,2]，，令f?()显然0?(ln2k)?ln2而ln2?1.x0?可得x?0,x?ln(2k)，2则当0?x?ln(2k)时，f?(x)?0；当x?ln(2k)时，f?(x)?0；所以函数f(x)的单调递增区间是((ln2k),??)，单调递减区间是(0,(ln2k)). 令g?k??ln?2k??k,则g??k???1??所以g?k?在??,1?上递增,

1?2?1k1?k?0,又当k￠k）k=1时，g（=0，

所以g?k??ln2?1?ln2?ln,从而ln?2k??k,所以ln?2k???0,k? e?0所以当x??0,ln?2k??时,f??x??0；当x??ln?2k?,???时,f??x??0；

k3?k所以M?max?f?0?,f?k???max?k??1e??1,?

令h?k???k?1?ek?k3?1,则h??k??k?ek?3k?, 令??k??ek?3k,则???k??ek?3?e?3?0

1?3??1??所以??k?在?上递减,而,1???1?e?????????e?3??0 ??2??2??2?????k?0所以存在k0??使得,且当,1k?,k??00?时,??k??0, ??2?2????11当k??x0,1?时,??k??0,

?所以h?k?在??,k0?上单调递增,在?k0,1?上单调递减. 2??1?17因为h???e??0,h?1??0, ???2?28?所以h?k??0在??,1?上恒成立,当且仅当k?1时取得“?”.

1?2?1

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综上,函数f?x?在?0,k?上的最大值M??k?1?ek?k3.

24.（2013·广东高考文科·Ｔ21）设函数f(x)?x3?kx2?x ?k?R?． (1) 当k?1时,求函数f(x)的单调区间；

(2) 当k?0时,求函数f(x)在?k,?k?上的最小值m和最大值M．

【解题指南】本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程中，应用好分类讨论思想.

2【解析】对函数f(x)?x3?kx2?x求导得f??x??3x?2kx?1. 2?12??8?0(1)当k?1时f??x??3x?2x?1，由??4可知f??x??0,f?x?在R上单调

递增.

2（2）方法一：当k?0时，f??x??3x?2kx?1，其图像开口向上，对称轴x? ，

k31? 且过点?0，22?4??k3（i）当??4k?1?k??3?0?，即?3?k?0时，f??x??0，f?x?在?k,?k?上单调递增，从而当x?k时，f?x? 取得最小值m?f?k??k，当x??k时，f?x?333取得最大值M?f??k???k?k?k??2k?k. 22?4??k3（ii）当??4k?1?k??3?0?2，即k??3时，令f??x??3x?2kx?1?0解

得

k?k2?3k?k2?3x1?,x2?33，注意到k?x2?x1?0，所以

m?min?f?k?,f?x1??,M?max?f??k?,f?x2??.

322?kx?0，所以f?x?的最小值因为f?x1??f?k??x11x?k1??x?k??1x?1??1m?f?k??k；

??k?2k?f??k?32x?22kx?2??[?x?3?k?2?k=因为f?x2??x??2k2?x21]k?0所?k以?，

f?x?的最大值M?f??k???2k3?k；

3综上所述，当k?0时，f?x?的最小值m?f?k??k,最大值M?f??k???2k?k.

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方法二：当

k?0时，对

?x??k,?k?，都有

f(x)?f(k)?x3?kx2?x?k3?k3?k?(x2?1)(x?k)?0，故f?x??f?k?； f(x)?f(?k)?x3?kx2?x?k3?k3?k?(x?k)(x2?2kx?2k2?1) ?(x?k)[(x?k)2?k2?1]?0，故f?x??f??k?.

又f(k)?k?0，f(?k)??2k3?k?0，所以f(x)max?f(?k)??2k3?k，f(x)min?f(k)?k. 25. （2013·湖北高考理科·T22）设n是正整数，r为正有理数。 （Ⅰ）求函数f?x?=(1?x)r?1?(r?1)x?1(x??1)的最小值；

r?1nc?1?(n?1)r?1?nr?1r(n?1)（Ⅱ）证明：

r?1r?1（Ⅲ）设x?R,记[x]为不小于的最小整数，例如[2]=2，[?]=4，[-]=-1. 令S=381?382?383??3125，求[S]的值。

（参考数据：80≈344.7，81≈350.5，124≈618.3，126≈631.7） 【解题指南】导数的应用；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论证明。（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论r和n取特殊值后累加可得。 【解析】（Ⅰ）因为当?1?x?0时，当x?0时，故函数

f?(x)?(r?1)(1?x)r?(r?1)?(r?1)[(1?x)r?1]，令f?(x)?04343434332，解得x?0.

f?(x)?0，所以f(x)在(?1,0)内是减函数；

f?(x)?0，所以f(x)在(0,??)内是增函数.

f(x)在x?0处取得最小值f(0)?0.

（Ⅱ）由（Ⅰ），当x?(?1,??)时，有f(x)?f(0)?0，即

(1?x)r?1?1?(r?1)x，且等号当且仅当x?0时成立，

故当x??1且x?0时，有

(1?x)r?1?1?(r?1)x. ①

在①中，令x?1（这时x??1且x?0），得(1?1)r?1?1?r?1.

nnn上式两边同乘nr?1，得(n?1)r?1?nr?1?nr(r?1)，即