考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

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②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a;

因为x∈(0,a)时,f'(x)<0,x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,

所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值. 综上:当a≤0时,函数f(x)无极值,

当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值. 21.(2013·福建高考理科·T20)已知函数

?4

f(x)?sin(wx??)(w?0,0????)的周期为

??

π,图象的一个对称中心为??,0?,将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到

?

原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移?个单位长度后得到函

2数g(x)的图象.

(1)求函数f(x)与g(x)的解析式.

???(2)是否存在x0???,?,使得f(x0),g(x0),

?64?f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个数,若不存在,说明理由.

(3)求实数a与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在?0,n??内恰有2 013个零点. 【解析】(1)由函数f(x)=sin(ωx+?)的周期为π,ω>0,得ω=2, 又曲线y=f(x)的一个对称中心为(,0),?∈(0,π),

4?故f()?sin(2???)?0,得?=,所以f(x)=cos 2x.

44???2将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cos x的图象,再将y=cosx的图象向右平移g(x)=sin x.

(2)当x∈(,)时,

?个单位长度后得到函数2??641212,0

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所以sinx>cos2x>sinxcos2x.

问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin xcos 2x在(,)内是否有解, 设G(x)=sin x+sinxcos 2x-2cos 2x,x∈(,), 则G'(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x). 因为x∈(,),所以G′(x)>0,G(x)在(,)内单调递增. 又G()???0，G()?6??64??64??6414??64??42?0. 2且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在(,)内存在唯一零点x0, 即存在唯一的x0?(,)满足题意.

64??64??(3)依题意,F(x)=asin x+cos 2x,令F(x)=asin x+cos 2x=0,

当sin x=0,即x=kπ(k∈Z)时,cos 2x=1,从而x=kπ(k∈Z)不是方程F(x)=0的解,所以方程F(x)=0等价于关于x的方程a??现研究x∈(0,π)∪(π,2π)时方程解的情况, 令h(x)??cos2x,x∈(0,π)∪(π,2π), sinxcos2x,x≠kπ(k∈Z), sinx则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x)在x∈(0,π)∪(π,2π)的交点情

cosx(2sin2x?1)?3?x?x?况,h?(x)?,令h′(x)=0,得或. 222sinx

当x变化时,h(x)和h′(x)变化情况如下表

x h?(x) h(x) (0,) 2? Z ?? 20 1 (,?) 2? ] ?(?,3?) 2? ] 3? 20 (3?,2?) 2? ?1 Z

当x>0且x趋近于0时,h(x)趋向于-∞, 当x<π且x趋近于π时,h(x)趋向于-∞,

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当x>π且x趋近于π时,h(x)趋向于+∞, 当x<2π且x趋近于2π时,h(x)趋向于+∞,

故当a>1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内无交点,在(π,2π)内有2个交点;

当a<-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内无交点;

当-1

由函数h(x)的周期性,可知当a≠±1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内恰有2013个交点;当a=±1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)∪(π,2π)内有3个交点,由周期性,2 013=3×671,所以n=671×2=1 342. 综上,当a=±1,n=1 342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点.

22.（2013·福建高考文科·Ｔ22）已知函数f(x)?x?1?对数的底数）.

（I）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值; （II）求函数f(x)的极值;

（III）当a?1时,若直线l:y?kx?1与曲线y?f(x)没有公共点,求k的最大值. 【解题指南】对函数求导，根据导数即切线斜率，知切线斜率为0，欲求极值，先求单调性，要注意对参数a进行讨论。 【解析】方法一：（Ⅰ）由f?x??x?1?aa?fx?1?，得． ??exexa（a?R,e为自然ex又因为曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线平行于x轴，

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aea（Ⅱ）f??x??1?x，

e得f??1??0，即1??0，解得a?e．

①当a?0时，f??x??0，f?x?为R上的增函数，所以函数f?x?无极值． ②当a?0时，令f??x??0，得ex?a，x?lna．

x????,lna?，f??x??0；x??lna,???，f??x??0．

所以f?x?在???,lna?上单调递减，在?lna,???上单调递增，

故f?x?在x?lna处取得极小值，且极小值为f?lna??lna，无极大值． 综上，当a?0时，函数f?x?无极小值；

当a?0，f?x?在x?lna处取得极小值lna，无极大值．

1 xe1令g?x??f?x???kx?1???1?k?x?x，

e（Ⅲ）当a?1时，f?x??x?1?则直线l：y?kx?1与曲线y?f?x?没有公共点， 等价于方程g?x??0在R上没有实数解． 假设k?1，此时g?0??1?0，g??1?1??1??0， ?1k?1??ek?1又函数g?x?的图象连续不断，由零点存在定理，可知g?x??0在R上至少有一解，与“方程g?x??0在R上没有实数解”矛盾，故k?1． 又k?1时，g?x??1?0，知方程g?x??0在R上没有实数解． xe所以k的最大值为1． 方法二：

（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一． （Ⅲ）当a?1时，f?x??x?1?1． ex直线l：y?kx?1与曲线y?f?x?没有公共点，